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Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel On se place dans ℝ un espace vectoriel, muni d'un produit scalaire (espace euclidien) Produit 

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Exercice 1 : Question de cours Donner la définition du produit scalaire d'un espace euclidien f est une rotation par rapport à une droite vectorielle

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Devoir surveillé no 5 : Géométrie Vectorielle - Exponentielle Fiche no 9 : Produit scalaire 1/ Cours : Donner la définition d'une suite divergent vers +∞

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1 avr 2013 · www math93 com / www mathexams Mines MP 2013 1) Question de cours • Comme ϕ est Par ailleurs, comme Rn est de dimension finie, Rn muni du produit scalaire usuel est un isomorphisme d'espace vectoriel

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que vous avez tissés autour de moi au cours de ces quatre années Au-delà, ni la méthode de Mahler, ni celle des t-motifs n'a à ce jour produit où pour un corps L et des éléments u1, ,un d'un L-espace vectoriel, RelL(u1, ,un) désigne le produit scalaire usuel sur (C{z})n, on peut écrire : Math 93 (1988), 667– 700

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et bien que le produit tensoriel de deux représentations irréductibles ne soit pas F(x) = 0, et donc x s 0 II en résulte que l'espace vectoriel p( U' T ^')° * p( ZL ' T 0 ') est dense dans Le résultat (b) a été démontré au cours de la démonstration de (a) du produit scalaire de L (G,m), c'est une algèbre hilbertienne à gauche

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30 mai 2002 · du (2g − 2 − k)-i`eme produit symétrique de la surface avec elle-même : en longueurs `a un facteur scalaire pr`es), dans lequel l'espace de sont les intersections de Hn avec les plans (vectoriels) de Rn+1 Nous reviendrons sur ce point au cours du chapitre 5 Invent Math , 93(3):557–607, 1988

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1 | P a g e ( C o r r e c t i o n I n t e r r o g a t i o n B)

M. Duffaud : http://www.math93.com/gestclasse/classes/ipsa_spe.html Interrogation de T.D. n°4 - B : IPSA. Maths Spé - CORRECTION

Exercice 1 : Question de cours. (4 points)

1. Donner la dĠfinition du produit scalaire d'un espace euclidien.

On appelle produit scalaire sur E toute application ɔ : E² ՜ Թ telle que : pour tout ǀecteurs dž, y et y' de E et k un

réel. c) ɔ est positive : ߮ 2. a. Que dire du déterminant d'une isomĠtrie d'un espace euclidien ? Le dĠterminant d'une isomĠtrie ǀaut 1 ou -1 b. Démontrer ce résultat.

Alors : det൫#ݐܣo=detܫ

Or det൫#ݐܣ

Le dĠterminant d'une isomĠtrie ǀaut donc 1 ou -1. Exercice 2 : Isométries de Թ૜. (1+7+5=13 points) définie par :

3൭

F2െ12

2െ21

122

1. Montrer que A est orthogonale, que dire de f ?.

2. Montrer que f est une rotation,

det A= 1 Donc f isométrie directe (donc rotation) f est une rotation par rapport à une droite vectorielle ࡰ,,&.

ξ11൭

1 1 3 ൱a=ܸ݁ܿݐ(ܫ ǯƒ‰Ž‡ - est déterminé par :

3, donc ݐ= ± ܣݎܿܿ

6ቁ [2ߨ

det(i,j,k) (݅,݂:E;,ݑ)=1

3ξ11อ

1െ21

021
013 อ= 5

3ξ11>0

2 | P a g e ( C o r r e c t i o n I n t e r r o g a t i o n B)

M. Duffaud : http://www.math93.com/gestclasse/classes/ipsa_spe.html Donc f est bien une rotation d'adže dirigĠ et orientĠ par ܫ

ξ11൭

1 1 3 ൱ et d'angle ܣ=ߠݎܿܿ

6ቁ [2ߨ

On a facilement ࡼ,,&=ቊ:F

T U V G ݐ݈݁ ݍݑ݁ ݔ+ݕ+3ݖ=0ቋ ࡼ,,&=൝:m

FUF3ݖ

U V q=ݕm F1 1 0 ൱+ݖm F3 0 1 ൱;(ݕ;ݖ)א9૛ൡ soit :ࡼ,,&=ܸ݁ܿ F1 1 0 F3 0 1 ൱a=ܸ݁ܿ Il faut ensuite othonormer la base de P aǀec l'algorithme de Gram-Schmidt. o ݒ1=݂1

ԡB1ԡ=1

ξ2൭

F1 1 0 o ݕ2=݂2െ <݂2,ݒ1> ݒ1=൮ F3 2 െ3 2 1 o ݒ2=ݕ2

ԡU2ԡ=1

ξ22൮

F3 2 െ3 2 1

Exercice 3 : Diagonalisation. (6 points)

définie par :

3െ1െ1

െ120 െ102

1. Expliquer pourquoi la matrice S est diagonalisable et dans quel type de base.

La matrice S est symétrique réelle donc diagonalisable dans une BON. 1 1 1 ൱ on prend ݒ1=1

ξ3 ൭

1 1 1 0 െ1 1 ൱ on prend ݒ2=1

ξ2 ൭

0 െ1 1 F2 1 1 ൱ on prend ݒ2=1

ξ6 ൭

F2 1 1

S diagonalisable, ܦܲ=ܵ

ܲ=(ݒ1,ݒ2,ݒ3) Et ܦ

100
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