Suite de Matrices - Spé Maths Graphe probabiliste et matrice trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous
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jaicompris.com Graphe probabiliste et matrice Un automate peut se trouver dans deux etatsAouB.A chaque seconde il peut soit rester dans l'etatou il se trouve, soit en changer, avec des probabilites donnees par le graphe probabiliste ci-dessous.AB0;30;70;20;8Pour tout entier natureln, on noteanla probabilite que l'automate se trouve dans l'etatAapres
nsecondes etbnla probabilite que l'automate se trouve dans l'etatBapresnsecondes. Au depart, l'automate est dans l'etatB. Gaspard arme qu'apres 4 secondes, l'automate a autant de chances d'^etre dans l'etatAque d'^etredans l'etatB. Cette armation est-elle vraie?Matrices : suite du typeUn+1=AUnDes souris sont dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces com-
partiments est ouverte dix minutes tous les jours. Chaque jour 20% des souris du compartiment A passent dans le compartiment B et 10% des souris qui etaient dans le compartiment B passent dans le compartiment A. Pour tout entier natureln, on noteanetbnles proportions de souris presentes respectivement dans les compartiments A et B apresnjours et on convient quea0=b0= 0;5et on noteUnla matricean b n 1. Exprimer p ourtout e ntiernaturel n,an+1etbn+1en fonction deanetbn. 2. D eterminerla matrice Atelle que pour tout entier natureln,Un+1=AUn. 3. Mon trerpar r ecurrenceque p ourtout en tiernaturel n,Un=AnU0. 4.On admet qu ep ourtout en tiern atureln,An=0
B @1 + 20;7n310;7n3
220;7n3
2 + 0;7n3
1 CA. Que peut-on
dire de la repartition a long terme des souris dans les compartiments A et B?1 Matrices et suites recurrentes lineaires d'ordre 2 Soit(un)la suite denie pour tout entier naturelnpar :u0= 0,u1= 1etun+2=32 un+112 un.Pour tout entier natureln, on pose :Un=un+1
u n 1.Donner U0etU1.
2. D eterminerla matrice Atelle que pour tout entier natureln, on ait :Un+1=AUn. 3. Donner sans justi erp ourtout en tiernaturel n,Unen fonction deA,netU0. 4. On admet que p ourtout en tiernaturel n, on a :An=12 n2n+112n+ 1
2 n+122n+ 2 En deduire, pour tout entier natureln, l'expression deunen fonction denpuis donner lalimite de la suite(un).Matrices : une suite du typeUn+1=AUn+BSoit(Un)la suite de matrices de taille(2 ; 1)denie pour tout entier naturelnpar :
U 0=0 1 etUn+1=AUn+BavecA=1=2 1 0 1=2 etB=1 1 1. Calculer A(I2A)et en deduire que la matriceI2Aest inversible. Donner(I2A)1. 2. D eterminerla matrice Lde taille(2 ; 1)qui verieL=AL+B. 3.