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Justifier aussi l'existence de l'intégrale ∫ x2 x dt ln(t) et déterminer son signe Nous pouvons (e) Prolongement par continuité de f en 1 i Montrer que f est

ln(t)dt = −1 − x ln(x) + x → x→0 −1 Exercice 7 Montrer que l'intégrale de f : t ↦→ ( 1 1 − exp(−t) + ln(t) − 1 t ) exp(−t) est convergente sur ]0, +∞[ et

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−t = √ te −t/2 e −t/2 ≤ e−t/2 Or l'intégrale ∫ ∞ A e−t/2dt converge, d' après le théorème La fonction t ↦→ (x − 1) lnt est définie et continue sur ]0,+ ∞[

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16 sept 2016 · 4 Exercice : Montrer que ∫ +∞ ∞− − dx e xa converge ssi a > 0, et vaut alors 2/a 2) ∫ En effet t → ln t est continue sur ]0, 1], et ∫1 ln

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−1 Par contre, l'intégrale ∫ 1 0 1 t dt diverge En effet, ∫ 1 x 1 t dt = [ ln(t) ]1 En multipliant les deux membres de l'inégalité par e−t/2 on obtient : ∀t>A

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Exercice 19 (Intégrales de Bertrand) Pour α, β ∈ R on étudie la nature de l' intégrale ∫ +∞ e dt tα(ln t)β 1) On suppose α = 1 Étudier la limite de t 1+α 2

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12 fév 2018 · et intégrale, en invoquant les bons théorèmes d'interversion entre une (ln t)e −t dt Appliquons de nouveau le théorème sur [1,+∞[ avec u(t)

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Soit E l'ensemble des fonctions continues strictement positives sur [a,b] lnt Correction ▽ [005464] Exercice 22 **** Soit f(t) = t2 et −1 si t = 0 et 0 si t = 0 1 Le résultat s'étend aux fonctions constantes par linéarité de l'intégrale puis aux

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3 + ln(ln t) Exercice 4 Calcul de limite Chercher limx→0+ ∫ x2 t=x e−t dt sin t ln t Exercice 5 Série d'intégrales, Esem 91 Établir la convergence et calculer

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ta ln(t)b Exercice 5 : Soit (a,b) ∈ R2 Étudier la convergence des intégrales f (t )e−λt dt Montrer que s'il existe a ∈ R tel que l'intégrale Ia converge, alors