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Chapitre 4

Suites

Objectifs du chapitre:itemréférencesauto évaluation définir et représenter graphiquement une suiteétudier une suite arith- métiqueétudier une suite géo- métriqueétudier le sens de varia- tion d"une suitemodéliser une situation

à l"aide d"une suite26

I Qu"est-ce qu"une suite?

Intuitivement, une suite de nombres réels est uneliste ordonnéede nombres réels, finie ou infinie. Cela signifie que parmi ces nombres, il y a un premier, que nous pourrons noter u

1(lire "uindice 1»), un deuxièmeu2("uindice 2»), un troisièmeu3et, de manière

générale, unn-ièmeun("uindicen»).

I - 1) notations et définitions

On note(un)la suiteu1,u2, ... ,un,un+1, ... Le nombreunest appelé terme d"indicende la suite(un). Il est parfois commode de noteru0le premier terme, ce que nous ferons en général. exemple:

Posons, pour tout entier natureln,un= 3n.

Nous définissons ainsi la suite(un)dont les premiers termes sont : u

0= 30= 1;u1= 31= 3;u2= 32= 9; ...;u10= 310= 59049

Attention:(un)désigne une suite tandis queunsans parenthèses désigne un nombre.

I - 2) modes de génération d"une suite

Il y a deux procédés usuels pour définir une suite. *suite définie de manière explicitePar exemple :un=n2+ 2n Alors :u0= 0,u1= 12+21 = 3,u2= 22+22 = 8,un+1= (n+1)2+2(n+1) =n2+4n+3

*suite définie par une relation de récurrenceCe procédé signifie que l"on donne le premier termeu0et une relation permettant de définir

chaque terme à partir du précédent. Un telle relation est appelée unerelation de récurrence. Par exemple :u0= 2et pour tout entier natureln,un+1= 3un+ 1 On peut alors calculer successivement les termesu1,u2,u3, ... Ainsi :u1= 3u0+ 1 = 32 + 1 = 7;u2= 3u1+ 1 = 22; etc.

II Représentation graphique

Lareprésentation graphique, dans un repère, des termes d"une suite (un)est l"ensemble despoints isolésde coordonnées(0;u0),(1;u1), (2;u2), ... ,(n;un), ...27 exemple:

On considère la suite(un)définie par :

pour tout entier natureln,un=6n+ 2 u

0= 3;u1= 2;u2=32

;u3=65 ;u4= 1

Les pointsA0(0;3),A1(1;2),A2(2;32

A

3(3;65

),A4(4;1)sont les cinq premiers points de la représentation graphique de cette suite.III Sens de variation d"une suite

III - 1) de quoi s"agit-il?

* lorsque chaque terme d"une suite est strictement inférieur au terme qui le suit, on dit que la suite est strictement croissante. * lorsque chaque terme d"une suite est strictement supérieur au terme qui le suit, on dit que la suite est strictement décroissante. définition 1: * la suite(un)est ditestrictement croissantelorsque : pour tout natureln,un< un+1* la suite(un)est ditestrictement décroissantelorsque : pour tout natureln,un> un+128 remarques: On définit de même une suite croissante en utilisant une inégalité large :unun+1 De même, pour une suite décroissante, on remplaceun> un+1parunun+1 exemples: * la suite(un)définie pour tout entiernparun= 5n+ 1est strictement croissante. En effet, pour tout natureln,un+1un= 5n+ 6(5n+ 1) = 5 Donc, pour tout entier natureln,un+1un>0, c"est-à-direun+1> un * la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn=n2+ 4est strictement décrois- sante. En effet, pour tout natureln,vn+1=(n+ 1)2+ 4 =(n2+ 2n+ 1) + 4 =n2+ 2n+ 3

Donc,vn+1vn=n22n+ 3(n2+ 4) =2n1

Donc, pour tout entier natureln,vn+1vn<0, c"est-à-direvn+1< vn Attention: une suite peut être ni croissante, ni décroissante ... Prenons la suite(wn)définie pour tout entier naturelnparwn=n210n+ 27 w n+1wn= (n+ 1)210(n+ 1) + 27(n210n+ 27) =n2+ 2n+ 110n10 + 27n2+ 10n27 = 2n9 Or,2n9est tantôt positif, tantôt négatif, selon les valeurs de l"entier natureln. w n+1wnn"a pas un signe constant : la suite(wn)n"est ni croissante, ni décroissante.

III - 2) interprétation graphique

Représentons graphiquement les suites(un)et(vn)définies précédemment : u n= 5n+ 1

La suite(un)est strictement croissante;

sa représentation graphique est la sui- vante :v n=n2+ 4

La suite(vn)est strictement décroissante;

sa représentation graphique est la sui- vante :29

IV suites arithmétiques

IV - 1) qu"est-ce qu"une suite arithmétique?

Lorsque pour une suite(un), on passe d"un termeunau suivantun+1en ajoutant toujours le même nombre fixe, on dit que la suite(un)est arithmétique. Plus précisément : définition 2: Dire qu"une suite(un)estarithmétiquesignifie qu"il existe un réelrtel que, pour tout natureln: u n+1=un+rLe réelrest appeléraisonde la suite(un).exemple: (un)est une suite arithmétique de raison (-3) et de premier termeu0= 8.

Alors :u1= 5,u2= 2,u3=1, ...

remarque: le réelrpeut être positif ou négatif. Sir= 0, alors tous les termes de la suite sont égaux : la suite estconstante.

IV - 2) calcul deunlorsqu"on connaîtu0etr

théorème 1:

1. Si(un)est une suite arithmétique de raisonr, alors pour tout naturel

n: u n=u0+nr2. Réciproquement : si pour tout natureln,un=b+an, alors(un)est une suite arithmétique de raisona.démonstration: On utilise la définition d"une suite arithmétique.

1.u1=u0+retu2=u1+r= (u0+r) +r=u0+ 2r

et ainsi, de proche en proche, on obtientu3=u0+ 3r, ... ,un=u0+nr

2.un+1un=b+a(n+ 1)(b+an) =a, d"où le résultat.exemples:

1.(un)est une suite arithmétique telle que :u0= 5etr= 3.

Alorsu50= 5 + 503 = 155

2.(un)est une suite définie pour tout entier naturelnparun= 3 + 8n.

Alors(un)est une suite arithmétique de raison 8. 30

IV - 3) calcul deunlorsqu"on connaîtupetr

théorème 2: (un)est une suite arithmétique de raisonr.

Alors, pour tout naturelnet tout naturelp:

u n=up+ (np)rdémonstration:

On utilise la formuleun=u0+nr.

u n=u0+nretup=u0+pr Doncunup=nrnp; d"oùun=up+ (np)rremarque: sip= 0, on retrouve le théorème 1. exemple:(un)est une suite arithmétique telle queu15= 9etr= 1;5. On peut alors calculer rapidement n"importe quel terme de la suite; calculonsu32,u2etu0: *u32=u15+ (3215)r= 9 + 171;5 = 34;5 *u2=u15+ (215)r= 9131;5 =10;5 *u0=u15+ (015)1;5 = 9151;5 =13;5 IV - 4) sens de variation d"une suite arithmétique théorème 3: Soit(un)est une suite arithmétique de raisonr, alors : * sir >0, alors(un)est strictement croissante. * sir <0, alors(un)est strictement décroissante.démonstration: Soit(un)est une suite arithmétique de raisonr, de premier termeu0, alors pour tout natureln: u n+1un= (un+r)un=r * sir >0, alorsun+1un>0, doncun+1> un: la suite est strictement croissante. * sir <0, alorsun+1un<0, doncun+1< un: la suite est strictement décroissante.31 IV - 5) représentation graphique d"une suite arithmétique théorème 4: La représentation graphique des termes d"une suite arithmétique est un ensemble de points isolésalignés.démonstration:

On utilise la formuleun=u0+nr.

Si(un)est une suite arithmétique de raisonr, on a vu que pour tout natureln, u n=u0+nr. Tous les points(n;un)se trouvent donc sur la droitedd"équationy=rx+u0exemples: (un)est la suite arithmétique telle que : u

0= 1etr=12

dest la droite d"équationy=12 x+ 1

Les sept premiers points de la représenta-

tion graphique de la suite et la droited sont représentés sur la figure ci-dessous.(vn)est la suite arithmétique telle que : v

0= 6etr=1

d

0est la droite d"équationy=x+ 6

Les sept premiers points de la représenta-

tion graphique de la suite et la droited0 sont représentés sur la figure ci-dessous.32

V suites géométriques

V - 1) qu"est-ce qu"une suite géométrique?

Lorsque pour une suite(un), on passe d"un termeunau suivantun+1en multipliant toujours

le même nombre fixe(ce nombre doit être positif), on dit que la suite(un)est géométrique.

Plus précisément :

définition 3: Dire qu"une suite(un)estgéométriquede raison strictement positive signifie qu"il existe un réelq >0tel que, pour tout natureln: u n+1=qunLe réelqest appeléraisonde la suite(un).exemple: (un)est une suite géométrique de raison 5 et de premier termeu0= 2.

Alors :u1= 5u0= 10,u2= 5u1= 50...

V - 2) calcul deunlorsqu"on connaîtu0etq

théorème 5:

1. Si(un)est une suite géométrique de raisonq >0, alors pour tout naturel

n: u n=qnu02. Réciproquement : si pour tout natureln,un=ban(a >0), alors(un)est une suite géomé- trique de raisona.démonstration: On utilise la définition d"une suite géométrique.

1.u1=qu0etu2=qu1=q(qu0) =q2u0

et ainsi, de proche en proche, on obtientu3=q3u0, ... ,un=qnu0

2.un+1=ban+1=b(an)a=una, d"où le résultat.exemples:

1.(un)est une suite géométrique telle que :u0= 3etq=12

Alorsu6=12

6 3 =32 6=364

2.(un)est une suite définie pour tout entier naturelnparun= 4n5.

Alors(un)est une suite géométrique de raison 4. 33

V - 3) calcul deunlorsqu"on connaîtupetq

théorème 6: (un)est une suite géométrique de raisonq.

Alors, pour tout naturelnet tout naturelp:

u n=upqnpdémonstration:

On utilise la formuleun=u0qn.

u n=u0qnetup=u0qp

Commeq6= 0,up=u0qppeut aussi s"écrire :u0=upq

p On remplaceu0par cette expression dansun=u0qnet on obtient : u n=upq pqn=upqnq p=upqnpremarque: sip= 0, on retrouve le théorème 5. exemple:(un)est une suite géométrique de raison92 et telle queu10= 5. On peut alors calculer rapidement n"importe quel terme de la suite; calculonsu50,u6etu0: *u50=u10q5010= 592 40
*u6=u10q610= 592 4 = 5249 4 *u0=u10q010= 592 10 = 52109 10 V - 4) sens de variation d"une suite géométrique théorème 7: Soit(un)est une suite géométrique de raisonq(avecq >0), de premier termeu0strictement positif, alors : * siq >1, alors(un)est strictement croissante. * si0< q <1, alors(un)est strictement décroissante.démonstration: Soit(un)est une suite géométrique de raisonq >0, de premier termeu0>0, alors pour tout natureln: u n+1un=u0qn+1u0qn=u0qn(q1) Comme on a supposéu0>0,qétant lui aussi positif, la différenceun+1una le même signe queq1 * siq >1, alorsun+1un>0, doncun+1> un: la suite est strictement croissante. * siq <1, alorsun+1un<0, doncun+1< un: la suite est strictement décroissante.34 V - 5) représentation graphique d"une suite géométrique : évolu- tion exponentielle exemples: (un)est la suite géométrique telle que : u 0=14 etq= 2(vn)est la suite géométrique telle que : vquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44