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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides Notions de mécanique des fluides Cours et exercices corrigés Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 2

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principes de la mécanique des fluides sont nombreuses dans la conception les ouvrages exercices corrigés", Edition castilla,2009,ISBN:978 2 7135 3026 5

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pdf MECANIQUE DES FLUIDES - univ-ustodz

La mécanique des fluides comprend deux grandes sous branches: • La statique des fluides ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos C'est historiquement le début de la mécanique des fluides avec la poussée d'Archimède et l'étude de la pression • La dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement Comme autres

Universit

´e Paris-Sud

Licences L3 de Physique et Applications et de M

´ecanique

Ann

´ee 2016-2017 - S5

Enonc´es de TD de M´ecanique des Fluides

Phys-M335

Cyprien Morize

Jean-Luc Raimbault

Emmanuelle Rio

TD 1 - Hydrostatique

I - Le barrage

´etudie ici la force s"exerc¸ant sur un barrage qui retient une hauteurH= 100m d"eau. On supposera que le

barrage a une largeurL= 500m et que la pression au sommet du barrage est la pression atmosph´eriquep0. On

´eglige les variations de pression de l"air due`a l"altitude. On utilise le syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes.

Dans ce syst

`eme le barrage est parall`ele au planyOzet l"eau retenue par le barrage est`ax <0(fig. a). La base du barrage se trouve dans le planz= 0. p0p0 (a)(b) xz 0 yHH PP 1. (a)

Rappeler la loi de l"hydrostatique dans un fluide

`a l"´equilibre de densit´esoumis`a la pesanteur

⃗g=g⃗ez. Ecrire cette loi sous la forme d"une´equation diff´erentielle permettant de calculer la

pressionpdans le fluide. (b) Int

´egrer cette´equation pour exprimer la pressionpen tout point du fluide`a l"´equilibre. On supposera

quep=p0enz=H. (c)

En appliquant le r

´esultat pr´ec´edent, tracer l"´evolution de la pression dans l"eau entre la base et le sommet du barrage. 2.

On cherche maintenant

`a exprimer la force de pression r´esultante qui s"exerce sur le barrage. (a)

SoitdSun´el´ement de surface du barrage autour du pointPetd⃗S=dS⃗exle vecteur associ´e.

Exprimer alors la force de pression r

´esultanted⃗Fqui s"exerce sur le barrage au travers dedS. (b) En d ´eduire l"expression de la force de pression totale⃗Fqui s"exerce sur le barrage. Calculer num

´eriquement la norme de cette force.

´eduire la force!Rqu"il faut appliquer sur le barrage pour le maintenir immobile. D´eterminer la

hauteurOPdu point d"application de cette force pour que la configuration soit stable. 3. On d

´esire optimiser la forme du barrage qui a, en r´ealit´e, une section trap´ezoidale sym´etrique d"angle

= 20o(fig. b). (a)

SoitPun point en surface du barrage en contact avec l"eau. Repr´esenter sur un sch´ema le vecteur

surfaced⃗Sau pointP. 1

(b)Exprimer puis calculer num´eriquement les composantes de la force de pression sur le barrage⃗Ft.

(c)

Quel peut

ˆetre l"int´erˆet de cette forme de barrage?

II - L"exp

´erience de Magdebourg

Soit un cube m

´etallique d"arˆeteaqu"on scinde en 2 morceaux´egaux. Apr`es avoir reconstitu´e le cube, on y fait

le vide. La pression ext

´erieure estp0= 105Pa.

Quel est l"effet du vide? Repr

´esenter les forces de pression.

Calculer la force n

´ecessaire pour s´eparer le cube en 2 moiti´es suivant un plan vertical (a= 10cm). 3. M ˆemes questions avec une sph`ere m´etallique de mˆeme surface que le cube. 4. M ˆemes questions lorsque la sph`ere est immerg´ee dans l"eau`a 10 m de profondeur.

III - L"atmosph

`ere terrestre

On s"int

´eresse ici aux propri´et´es de la basse atmosph`ere terrestre, d"altitude inf´erieure`a 10 km (la troposph`ere).

Le gaz atmosph

´erique est suppos´e parfait et en´equilibre hydrostatique. La masse molaire de l"aire estM= 29

g. Pour d

´ecrire l"atmosph`ere on se place dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een muni d"un rep`ere cart´esien

Oxyzo`uOzest l"axe vertical orient´e vers le haut de l"atmosph`ere. La pression au niveau du sol estp0= 1atm

et l"altitude correspondante estz= 0.

On suppose dans un premier temps que l"atmosph

`ere est isotherme de temp´eratureT=T0. 1.

A partir du principe hydrostatique, d

´eterminer le profil vertical de pressionp(z). On d´efinith= RT

0=Mg. Quelle est la dimension deh? Quelle est sa signification? CalculerhpourT0= 300K.

On suppose

`a pr´esent que l"atmosph`ere est adiabatique et quep=K avec =cp=cvetKune constante. 2.

Etablir une relation entrepetT.

3. De m ˆeme qu"au 1),´etablir l"expression dep(z). En d´eduire l"expression deT(z). 4.

Quelle est alors l"expression du gradient de temp

´eratureas=dT=dz? Exprimez-la en fonction deh.

Calculer sa valeur num

´erique sachant que

= 1;4. 5.

En basse atmosph

`ere, le gradient de temp´eraturedT=dzest`a peu pr`es constant´egal`a -7 K/km. Dans ces conditions des mouvements de convection peuvent-ils se d

´evelopper?

TD 2 - Hydrostatique : Archim

`ede et r´ef´erentiel non-galil´een

I - Principe d"Archim

`ede

On consid

`ere un glac¸on de forme cubique de cˆot´eh= 4cm et flottant en´equilibre dans un verre d"eau rempli

a ras bord. On noteragla densit´e du glac¸on,ecelle de l"eau etacelle de l"air. On ag=e≃0,92.

Retrouver le principe d"Archim

`ede (dans l"air et dans l"eau) en exprimant la condition d"´equilibre du glac¸on. 2.

Quelle est la hauteur immerg

´eeadu glac¸on?

Lorsque le glac¸on fond, le verre d

´eborde-t-il?

II - Submersible

On s"int

´eresse`a l"immersion d"une boˆıte cubique de cˆot´eadans de l"eau. Le cube, rigide et creux, est rempli

d"air

`a la pression atmosph´eriquep0. Chaque face du cube a une´epaisseur fixeeet on noterasla densit´e du

mat

´eriau constituant le cube etMsa masse. Sauf mention contraire, la densit´e de l"eauest suppos´ee constante

et on fait l"hypoth `ese que l"eau est un fluide parfait. L"axeOzest pris vertical et orient´e vers le haut. 1.

Enoncer le th

´eor`eme d"Archim`ede.

En d

´eposant le cube dans l"eau, une face parall`ele`a la surface de l"eau, on constate qu"`a l"´equilibre sa face

sup ´erieure se trouve`a une distancehau-dessus de la surface de l"eau de cotez= 0. 2. (a)

Exprimer la pouss

´ee d"Archim`ede que subit le cube.

(b) A l" ´equilibre, exprimer la hauteur´emerg´eehen fonction deM,eta. A quelle condition le cube flottera-t-il? (c) Sachant quee << a, exprimer la masseMdu cube en fonction dea,eets. Quelle est alors la condition surapour que le cube flotte? Exprimer num´eriquement cette condition pours== 10 ete= 5cm. 3

3.On suppose que le cube flotte`a l"´equilibre avec une hauteur´emerg´eeh= 0. On lui rajoute une masse

mqui n"augmente pas son volume (par exemple en le remplissant d"eau). Que va-t-il alors se passer?

Le mouvement du cube pourra-t-il s"arr

ˆeter?

4. Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de la densit

´e de l"eau

avec la profondeur,(z) =0(1 +z)avec0= 103kg/m3. (a)

Quel doit

ˆetre le signe depour que le cube s"arrˆete? Quelle est sa dimension? Sachant que m+M= (1 +k)0a3(knombre sans dimension) exprimer la cotezeo`u les forces sur le cube s" ´equilibreront. Faire l"application num´erique pourjj= 106SI etk= 103. (b) Cet

´equilibre est-il stable?

III - D

´eformation de la surface libre d"un liquide en rotation

On cherche

`a d´eterminer la forme de la surface libre d"un liquide contenu dans un verre de hauteurH= 15 cm en rotation `a vitesse angulaire!Ω = Ω!ezconstante. On noteR= 5cm le rayon du verre eth= 10cm la

hauteur de liquide lorsqueΩ = 0. On suppose que le fluide est au repos dans le r´ef´erentiel tournant : on parle

´ecoulement en rotation solide.W

Rhp 0H

0zrere

z 1.

On rep

`ere une particule fluide par ses coordonn´ees cylindriques(r;;z). Quelle est sa trajectoire dans le r

´ef´erentiel du laboratoire?

Compte tenu des sym

´etries du probl`eme, justifier que la pressionpdans le liquide ne d´epend pas de. 3.

Ecrire l"´equation de l"hydrostatique dans le r´ef´erentiel tournant. Quelle est la force volumique d"inertie

d"entra

ˆınement!fequi s"applique ici?

4. D

´eterminer le champ de pressionp(r;z)au sein du liquide. On notez0l"altitude de la surface de l"eau

enr= 0. 5. D

´eterminer l"´equation de la surface libre de l"eau. Tracer la courbe dezz0en fonction der: quel est

le nom de cette courbe? 6. D

´eterminer la hauteur de liquidez0enr= 0en fonction deh,RetΩ. En d´eduire la vitesse angulaire

maximaleΩau-del`a de laquelle il n"y a plus de hauteur d"eau non nulle au centre enr= 0. 7. Calculer la vitesse angulaireΩau-del`a de laquelle l"eau d´eborde du verre. 4

TD 3 - Cin

´ematique

I -

´Ecoulement de Poiseuille

´ecoulement stationnaire d"un fluide soumis`a une diff´erence de pression et situ´e entre deux plans parall`eles`a

xOz, situ´es end=2, est caract´eris´e par le champ de vitesse u=u0( 14y2 d

2)!ex:

1. D

´eterminer l"allure du champ de vitesse.

2. Cet

´ecoulement est-il incompressible?

3. Quelles sont les trajectoires suivies par une particule fluide? 4. D ´eterminer les lignes de courant. Co¨ıncident-elles avec les trajectoires? 5.

Calculer le champ de vorticit

´e.

6. D

´eterminer le vecteur acc´el´eration.

II - Rotation

On consid

`ere un´ecoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes en coordonn´ees cylindriques et pourr̸= 0: 8 :u r= 0 u =Ar+B r u z= 0 o

`uAetBsont deux constantes. Le mouvement se fait-il de fac¸on isovolume? Calculer les composantes du

rotationnel et du tenseur taux de d ´eformation. Apr`es avoir identifi´e les lignes de courant, discuter les cas parti- culiersA= 0etB= 0et interpr´eter physiquement les r´esultats.

III - D

´eformation dans les´ecoulements

Soit l"

´ecoulement de cisaillement bidimensionnel!u=ay!exaveca >0. 1.

Calculer le champ de vorticit

´e de cet´ecoulement.

2. Calculer le tenseur des gradients de vitesse. En d ´eduire l"expression du tenseur des rotations pures et du tenseur des d

´eformations pures.

Montrer que la d

´eformation d"un´el´ement de fluide se traduit par (a) aucune variation de volume. (b) un allongement que l"on pr

´ecisera suivant la direction(!ex+!ey).

TD 4 - Dynamique du fluide parfait : th

´eor`eme de Bernoulli

I - La clepsydre

Dans l"Antiquit

´e, les grecs mesuraient le temps en observant la hauteurhd"eau dans un r´ecipient (clepsydre) en train de se vider et cet exercice a pour but d"

´etudier ce ph´enom`ene.

On suppose dans un premier temps que la clepsydre est un r ´ecipient cylindrique de sectionSconstante avec

a sa base un orifice de sectionspar lequel l"eau peut s"´echapper`a l"air libre. Cet orifice est d"abord bouch´e

pour remplir la clepsydre jusqu" `a la hauteurh0. At= 0on lib`ere l"orifice et le vidage commence. Les valeurs num

´eriques sont :h0= 1m,s= 1cm2etS= 0;5m2.

On suppose que l"eau est un fluide parfait, incompressible et en ´ecoulement permanent. On n´egligera les varia- tions de pression dans l"air. La pression atmosph

´erique estp0= 105Pa.B

h0quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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Universit

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Enonc´es de TD de M´ecanique des Fluides

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Cyprien Morize

Jean-Luc Raimbault

Emmanuelle Rio

TD 1 - Hydrostatique

I - Le barrage

Dans ce syst

Rappeler la loi de l"hydrostatique dans un fluide

En appliquant le r

On cherche maintenant

Exprimer alors la force de pression r

´eriquement la norme de cette force.

Quel peut

II - L"exp

´erience de Magdebourg

Soit un cube m

´erieure estp0= 105Pa.

Quel est l"effet du vide? Repr

´esenter les forces de pression.

Calculer la force n

III - L"atmosph

On s"int

Le gaz atmosph

On suppose dans un premier temps que l"atmosph

A partir du principe hydrostatique, d

0=Mg. Quelle est la dimension deh? Quelle est sa signification? CalculerhpourT0= 300K.

On suppose

Etablir une relation entrepetT.

Quelle est alors l"expression du gradient de temp

´eratureas=dT=dz? Exprimez-la en fonction deh.

Calculer sa valeur num

´erique sachant que

En basse atmosph

´evelopper?

TD 2 - Hydrostatique : Archim

I - Principe d"Archim

On consid

Retrouver le principe d"Archim

Quelle est la hauteur immerg

´eeadu glac¸on?

Lorsque le glac¸on fond, le verre d

´eborde-t-il?

II - Submersible

On s"int

Enoncer le th

´eor`eme d"Archim`ede.

Exprimer la pouss

´ee d"Archim`ede que subit le cube.

3.On suppose que le cube flotte`a l"´equilibre avec une hauteur´emerg´eeh= 0. On lui rajoute une masse

Le mouvement du cube pourra-t-il s"arr

ˆeter?

´e de l"eau

Quel doit

´equilibre est-il stable?

III - D

On cherche

´ecoulement en rotation solide.W

0zrere

On rep

´ef´erentiel du laboratoire?

Compte tenu des sym

ˆınement!fequi s"applique ici?

TD 3 - Cin

´ematique

´Ecoulement de Poiseuille

2)!ex:

´eterminer l"allure du champ de vitesse.

´ecoulement est-il incompressible?

Calculer le champ de vorticit

´e.

´eterminer le vecteur acc´el´eration.

II - Rotation

On consid