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2
Numération et sens du nombre
Fascicule 2 : Fractions
Numération et sens du nombre est réparti en trois fascicules : Nombres naturels, Fractions et Nombres décimaux et pourcentages. Ce second fascicule, Fractions, comprend notamment une introduction, une description de la grande idée Sens du nombre et une de la grande idée Sens des opérations détaillées à la lumière des moyen. 3Numération et sens du nombre
Fascicule 2
Fractions
4Table des matières
Préface ................................................................................................................................ 9
Introduction ...................................................................................................................... 10
ENSEIGNEMENT EFFICACE DE LA NUMÉRATION .............................................................. 11
Communication ............................................................................................................. 12
' ..... 13MODÈLES MATHÉMATIQUES .................................................................................... 14
Enseignement par la résolution de problèmes ............................................................. 16
Échelles de développement du sens du nombre et du sens des opérations ............... 18Grandes idées ............................................................................................................... 24
GRANDES IDÉES EN NUMÉRATION ET SENS DU NOMBRE ............................................... 26
Aperçu ........................................................................................................................... 26
GRANDE IDÉE 1 ʹ SENS DU NOMBRE ............................................................................... 29
Aperçu ........................................................................................................................... 29
Énoncé 1 ʹ quantité représentée par un nombre ........................................................ 30
DIFFICULTÉS ENCOURUES PAR LES ÉLÈVES............................................................... 31
CONTEXTE ................................................................................................................. 33
CONCEPT DE FRACTION ............................................................................................ 35
REPRÉSENTATION MENTALE ..................................................................................... 37
AUTRES CONCEPTS ASSOCIÉS À LA NOTATION FRACTIONNAIRE a/b ...................... 37APPROXIMATION ...................................................................................................... 39
Énoncé 2 ʹ relations entre les nombres ....................................................................... 44
' ................................................................................................. 45
RELATIONS ENTRE DES NOMBRES EXPRIMÉS SOUS DIFFÉRENTES FORMES ............ 55Énoncé 3 ʹ représentations des nombres .................................................................... 57
EXPLORATION DE FRACTIONS ................................................................................... 57
SITUATIO' ....................................... 59 ' ............................................................... 61 5 ' ..................................................................... 68REPRÉSENTATIONS SYMBOLIQUES ........................................................................... 69
GRANDE IDÉE 2 ʹ SENS DES OPÉRATIONS ........................................................................ 70
Aperçu ........................................................................................................................... 70
Énoncé 1 ʹ quantité dans les opérations ...................................................................... 72
APPRENTISSAGE DES OPÉRATIONS FONDAMENTALES ............................................ 72 NATURE DES OPÉRATIONS FONDAMENTALES ......................................................... 74 ' ....................................................... 79Énoncé 2 ʹ relations entre les opérations .................................................................... 81
LIENS ENTRE LES OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES NATURELS ET CELLES SUR LESFRACTIONS ................................................................................................................ 81
CALCUL MENTAL ....................................................................................................... 83
Énoncé 3 ʹ Représentations des opérations ................................................................ 85
ADDITION ET SOUSTRACTION ................................................................................... 86
MULTIPLICATION....................................................................................................... 90
DIVISION .................................................................................................................... 92
ÉTABLIR DES LIENS ............................................................................................................ 97
Liens avec des expériences de la vie quotidienne ........................................................ 97
Liens avec des concepts dans les autres domaines de mathématiques .................... 100Liens avec des concepts dans les autres matières...................................................... 102
Liens avec des professions ...................................................................................... 104
ANNEXE - GABARITS ................................................................................................ 106
' ............................................................................................ 107Tableau de progression 1 ʹ Vocabulaire ..................................................................... 107
Tableau de progression 2 ʹ Habiletés ......................................................................... 109
' ...................................................................................... 111Aperçu ......................................................................................................................... 111
Légende ................................................................................................................... 111
GRANDE IDÉE : SENS DU NOMBRE ......................................................................... 112
INTENTION PÉDAGOGIQUE ..................................................................................... 112
6 ' ........................................................... 113CONTEXTE ............................................................................................................... 113
PRÉALABLES ............................................................................................................ 114
VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE ............................................................................ 114
TÂCHE 1 ʹ ';Ϳ ......................................... 114 TÂCHE 1 ʹ ';Ϳ ...................................... 116TÂCHE 1 ʹ ';ͬIQUE)
................................................................................................................................. 119
TÂCHE 2 ʹ ';Ϳ ......................................... 121 TÂCHE 2 ʹ ';Ϳ ...................................... 122TÂCHE 2 ʹ ';ͬͿ
................................................................................................................................. 124
ADAPTATIONS ......................................................................................................... 127
SUIVI À LA MAISON ................................................................................................. 127
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1 .............................................................................. 128
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2 .............................................................................. 128
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3 .............................................................................. 129
ANNEXE 4.1 ............................................................................................................. 130
ANNEXE 4.2 ............................................................................................................. 131
ANNEXE 4.3 ............................................................................................................. 132
ANNEXE 4.4 ............................................................................................................. 133
ANNEXE 4.5 ............................................................................................................. 134
ANNEXE 4.6 ............................................................................................................. 135
ANNEXE 4.7 ............................................................................................................. 136
GRANDE IDÉE : SENS DU NOMBRE ......................................................................... 139
SOMMAIRE .............................................................................................................. 139
INTENTION PÉDAGOGIQUE ..................................................................................... 139
' ......................................................... 139CONTEXTE ............................................................................................................... 140
PRÉALABLES ............................................................................................................ 140
7VOCABULAIRE MATHÉMATQUE ............................................................................. 140
';Ϳ ........................................................... 141 ';Ϳ ........................................................ 144 ';ͬͿ ............ 146ADAPTATIONS ......................................................................................................... 148
SUIVI À LA MAISON ................................................................................................. 148
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1 .............................................................................. 149
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2 .............................................................................. 151
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3 .............................................................................. 151
ANNEXE 5.1A ........................................................................................................... 153
ANNEXE 5.1B ........................................................................................................... 154
ANNEXE 5.2A ........................................................................................................... 155
ANNEXE 5.2B ........................................................................................................... 156
ANNEXE 5.3 ............................................................................................................. 157
ANNEXE 5.3 (SUITE) ................................................................................................ 158
ANNEXE 5.4 ............................................................................................................. 161
ANNEXE 5.4 (SUITE) ................................................................................................ 162
ANNEXE 5.4 (SUITE) ................................................................................................ 163
GRANDE IDÉE : SENS DU NOMBRE ......................................................................... 164
SOMMAIRE .............................................................................................................. 164
INTENTION PÉDAGOGIQUE ..................................................................................... 164
' ......................................................... 164VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE ............................................................................ 165
';Ϳ ........................................................... 165 ';Ϳ ........................................................ 168 ';ͬͿ ............ 170ADAPTATIONS ......................................................................................................... 172
SUIVI À LA MAISON ................................................................................................. 173
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 1 .............................................................................. 173
ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 2 .............................................................................. 174
8ACTIVITÉ SUPPLÉMENTAIRE ʹ 3 .............................................................................. 175
ANNEXE 6.1 ............................................................................................................. 177
ANNEXE 6.2 ............................................................................................................. 178
ANNEXE 6.3 ............................................................................................................. 179
ANNEXE 6.4 ............................................................................................................. 180
Références ...................................................................................................................... 181
9Préface
Le document intitulé Enseigner et apprendre les mathématiques : Rapport de la Table ronde des experts en mathématiques de la 4e à la 6e année souligne que "2004a, p. 35) et il en définit les principales composantes. Pour appuyer la mise en
stratégies portent essentiellement sur les grandes idées inhérentes aux attentes du mathématiques et sur la communication comme moyen de développement et Dans le présent document, parents désigne père, mère, tuteur et tutrice. applications pratiques des principes et des fondements présentés dans le guideélèves en mathématiques.
scolaire des élèves et appuyer le développement durable de la communauté scolaire de communication orale. 10Introduction
compréhension conceptuelle des mathématiques. Chaque jour, nous sommes bombardés de nombres, de statistiques, de publicités et de données, à la radio, à la efficacement avec les nombres afin de composer avec le quotidien et de juger si ces calculs sont appropriés. (Fosnot et Dolk, 2001, p. 98, traduction libre) mathématiques, puisque pour maîtriser divers concepts mathématiques, les élèves autres domaines, les nombres et les opérations sont utilisés quotidiennement par toutͻ la recherche de la bonne réponse;
11 contextes.ENSEIGNEMENT EFFICACE DE LA NUMÉRATION
est rédigé en tenant compte plus particulièrement de quatre de ces éléments, soit la développement du sens du nombre et du sens des opérations et les grandes idées. 12Communication
efficace des mathématiques, de la maternelle à la 6e année, fascicule 2 (Ministère defaçon plus importante, un véhicule par lequel les élèves acquièrent une compréhension
des concepts mathématiques dans des contextes qui font appel à des raisonnements et dimension conceptuelle de la communication. sociale de la communication. En effet, qui dit " communication » dit " échange » entre impliquées, dans la mesure où il règne au sein du groupe un climat propice au dialogue 13 échanges entre les élèves afin de les pousser à préciser leurs raisonnements et leurs proposées dans le présent guide.RÔLE DES REPRÉS'
partager leurs idées les aide à établir des liens entre ces idées pour leur propre bénéfice
et pour celui de leurs pairs. (Van de Walle et Bowman Watkins, 2003, p. 146, traduction libre) autres. (Goldin et Shteingold, 2001, p. 19, traduction libre) idées doivent être véhiculées au moyen de différents modes : concrètement (p. ex., avec des cubes emboîtables), semi-concrètement (p. ex., avec une droite graduée ou une illustration), symboliquement (p. ex., en utilisant des chiffres et des symboles soient lus, vus, dits, écrits ou entendus. Ces divers modes de représentation présentés dans le schéma ci-après permettent résoudre des problèmes et clarifier leur pensée. 14 mathématiques et à les comprendre. (Fennell, 2006, p. 3, traduction libre)MODÈLES MATHÉMATIQUES
Depuis longtemps, les mathématiciens et les mathématiciennes construisent des modèles pour expliquer et représenter des découvertes et des observations du monde et pour les communiquer efficacement. Par exemple, en pensant à un nombre, certains le visualisent dans un modèle mathématique tel que la droite numérique ouverte ou de même pour les élèves dont les premiers modèles utilisés pour résoudre des problèmes reflètent leur interprétation de la réalité. Toujours selon Fosnot et Dolk (2001, p. 80), les modèles, tout comme les grandes idées bon exemple : intuitivement, les élèves " organisent » les données numériques en les plaçant de façon disparate sur une feuille, mais la table de valeurs permet de les ordonner en vue de les traiter et de les analyser. Cependant, une précision au sujet des modèles et du matériel de manipulation est de situation qui servira à en discuter. Il en va de même de tous les modèles employés. possède déjà une compréhension du concept de regroupement. Cependant, présenter pourrait aussi représenter un dixième, par exemple, en représentant le nombre 2,5 avec2 planchettes (2 unités) et 5 languettes (5 dixièmes).
15 La droite numérique est un autre modèle auquel les élèves doivent être exposés. La droite numérique ne représente pas la quantité correspondant aux nombres qui sont placés sur cette droite; elle permet de " voir » les nombres en relation les uns avec les autres. Par exemple, une droite numérique sur laquelle les nombres 44, 42 ¾ et 41,5 utiliser divers modèles et les inciter à faire de même. Les modèles ne devraient pas le cadre de situations de résolution de problèmes. Par exemple, la droite numérique est une droite numérique ouverte (Figure 2).Exemple
5 + 3 + 10
Figure 1 Figure 2
De même, afin de représenter des situations impliquant des fractions, les élèves tendent souvent à utiliser un modèle de surface (p. ex., cercle ou rectangle). Cependant, ce type de modèle ne permet pas de représenter fidèlement des situations où le tout est une longueur et leur montrer comment un modèle de longueur (p. ex., segment de droite) serait plus approprié. Les élèves doivent être exposés à une multitude de représentations pour être enstratégie pour généraliser des idées mathématiques, pour résoudre des problèmes et
16 programme-cadre de mathématiques, sous la compétence " Mise en application ». Voici quelques modèles que les élèves peuvent utiliser en numération et sens du nombre :ͻ la droite numérique;
ͻ la droite numérique ouverte;
ͻ la disposition rectangulaire;
ͻ la table de valeurs;
ͻ la grille de nombres;
ͻ le matériel de base dix;
ͻ le modèle de surface pour représenter des fractions; ͻ le modèle de longueur pour représenter des fractions; ͻ la monnaie pour représenter des nombres décimaux.Enseignement par la résolution de problèmes
17 apprennent les mathématiques en faisant des mathématiques. (Van de Walle et Folk,2005, p. 44, traduction libre)
et sens du nombre, il est important de les placer en situation de résolution de résoudre un problème engageant et non routinier, les élèves deviennent habiles à formuler une hypothèse et un argument mathématique. Ils apprennent aussi à prendre des risques, à persévérer et à avoir confiance en leur capacité à résoudre des tout son sens.interventions qui devraient être conservées, celles qui peuvent être améliorées et celles
qui pourraient être mises en place pour mieux rejoindre les garçons et mieux2005, p. 17)
ou la situation du problème devient alors un facteur déterminant. fait, le contexte peut être un élément accrocheur pour les élèves et leur donne une raison de " faire des mathématiques ». Conséquemment, le contexte doit être choisi,formulé et façonné judicieusement, afin de toucher leur sensibilité. Le contexte est donc
des élèves, notamment les garçons et les élèves ayant des besoins particuliers. mathématiciens et mathématiciennes au travail ʹ défendent leur raisonnement. Des idées et des stratégies ressortent de la discussion et contribuent à former le bagage mathématique de tous les élèves de la classe. (Fosnot et Dolk, 2001, p. 29, traduction libre)mathématique qui les incitent à réfléchir. Il ou elle doit ensuite laisser les élèves
18élaborer leurs propres stratégies de résolution de problèmes sans trop les diriger. Enfin,
duquel les élèves expliquent et défendent leur raisonnement et analysent celui desproblèmes, à communiquer, à raisonner, à écouter et à analyser. Pour plus de détails au
compréhension. En numération et sens du nombre, les élèves résoudront des prêtent à un enseignement par la résolution de problèmes. Échelles de développement du sens du nombre et du sens des opérations des opérations et de mieux cerner les prochaines étapes à franchir. (Small, 2005b, p. 2, traduction libre) Le développement des connaissances et des habiletés des élèves en numération et sens 19 Les tableaux qui suivent proposent une échelle de développement du sens du nombre (Tableau 1) et une échelle de développement du sens des opérations (Tableau 2). Chaque échelle décrit un continuum de développement en cinq étapes qui va de trois prémisses suivantes :