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Résistances des Matériaux - théorie des poutres Page 1 sur 4 SSSIII M ERMOZ
Résistance des matériaux
HYPOTHESES NECESSAIRES A LA THEORIE DES POUTRES :
Matériau : Il est continu (à une échelle macroscopique tout le volume considéré est rempli de façon
continue), isotrope (les caractéristiques du matériau sont identiques dans toutes les directions)
et homogène (le matériau composant le solide est identique en chaque point). Modèle poutre : Un solide est considéré comme une poutre si : - Sa ligne moyenne est droite ou à grand rayon de courbure. - Il n'y a pas de variation brusque de section. Ces deux cas engendreraient des concentrations de contrainte.Déformations :
- (OOHV GRLYHQP rPUH GH IMLNOH HQYHUJXUH LQILQLPpVLPMOHV SRXU VXSSRVHU TXH OHV SRLQPV G·MSSOLŃMPLRQ
des actions mécaniques ne bougent pas). - Chaque section reste perpendiculaire à la ligne moyenne.Une poutre est composée d'un assemblage structuré d'atomes maintenus par les forces de cohésion inter-
atomes.La méthode des poutres s'intéresse aux actions de cohésion dans une section droite (section droite :
section perpendiculaire à la ligne moyenne).SOLLICITATIONS
Traction ou compression Torsion Flexion
Attention :
O·pPXGH VSpŃLILTXH
de la torsion ne peut se faire que sur des poutres de révolution (section circulaire).DEFORMATIONS
Actions de
cohésion Action extérieure1.1.1.1.2 Section
droite 1.1.1.1.1 Ligne moyenneAttention : dessin avec poutre à section
rectangulaire seulement pour pouvoir visualiser la déformation de torsion A A A AFibres
compriméesFibres
tenduesTraction : allongement
axial et rétrécissement latéralCompression :
rétrécissement axial etépaississement latéral
Traction
Compression
Fibre neutre Résistances des Matériaux - théorie des poutres Page 2 sur 4 SSSIII M ERMOZTorseur de cohésion
Considérons une poutre sollicitée par des actions mécaniques extérieures. Une coupe virtuelle de cette poutre et une étude statique de ce tronçon nous fait apparaitre des efforts de cohésion dans la section coupée. Ces efforts peuvent être définis par un torseur réduit dans la section et positionné sur la fibre neutre de la poutre (fibre non modifiée en longueur).Ce torseur est nommé "Torseur de Cohésion".
Composantes du torseur :
N : Effort Normal Mt : Moment de Torsion
T : Effort Tranchant Mf : Moment fléchissant
Notion de contraintes
La contrainte est une composante élémentaire des efforts de cohésion, ou un effort élémentaire appliqué à une surface élémentaire. Une contrainte est donc une force divisée par une surface. Elle est homogène à une pression et, en mécanique, est exprimée enN/mm² (ou Mpa)
Répartition de contraintes :
Les contraintes ne sont pas forcement réparties uniformément dans la section. Ci-contre, la répartition de contraintes dans une section soumise à de la flexion pure, donc à un torseur de cohésion ne faisant apparaitre qu'un moment fléchissant (ici suivant z)Concentration de contraintes
La concentration de contrainte est un phénomène survenant lorsque la section d'une pièce varie de manière brutale : trou Résistances des Matériaux - théorie des poutres Page 3 sur 4 SSSIII M ERMOZCALCUL DE RESISTANCE
Calculer une résistance de pièce revient à comparer la contrainte à l'intérieur de celle-ci à la contrainte
maximale que supporte le matériau la composant. La déformation est directement proportionnelle à la contrainte.EXEMPLE
Traction -compression
Type de contraintes : Normales :
>0 AE traction <0 AE compression Limite à ne pas dépasser : " Condition de résistance » AvecRe = limite élastique,
s = coefficient de sécurité.Relation contrainte - déformation :
avec E = module d'élasticité longitudinal ou module de YOUG (Acier E 210 000 MPa)Contrainte équivalente :
Lors de chargements de pièces quelconques, la contrainte ne peut souvent plus être définie Normale () ou
Tangentielle (). Une contrainte équivalente à une contrainte normale est alors utile pour réaliser une étude
de résistance.Ces contraintes équivalentes sont le plus souvent définies suivant les critères de Tresca ou de Von Mises.