Cet ouvrage fait partie de la collection « Classe prépa », une collection d' ouvrages simples et 2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation 63 masse M, de hauteur h, dont la base est un disque de rayon R
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| Classe | prépaMécanique du solide
et des systèmes||Jean-Claude Hulot
Professeur en classes préparatoires
Marc Venturi
Professeur de chaire supérieure
en classes préparatoires au lycée Carnot à Dijon© Nathan,classe prépaCet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collectiond'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes
des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec- tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi, chaque chapitre est constitué de cinq rubriques : • Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... terie d'exercices ; mentés.Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly
Relecture : Fanny Morquin
Composition : Softwin
Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître
Maquette intérieure : Thierry Méléard
© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1
© Nathan,classe prépa
Avant-propos
La mécanique a non seulement pour but de décrire les mouvements des objets mais aussi d'en comprendre les causes (les forces). Les lois fondamen- tales de la mécanique newtonienne, associées à des modèles de forces, four- nissent les équations nécessaires à la compréhension et à la prévision des mouvements. Le domaine de validité des lois newtoniennes est vaste. Il s'étend des systè- mes ayant pour dimension celle de quelques molécules aux distances astro- nomiques entre les galaxies, à plusieurs centaines de millions d'années- lumière de la Terre, et englobe en particulier l'échelle des phénomènes de taille humaine. En dehors de ces domaines et pour quelques systèmes parti- culiers (superfluides, supraconducteurs...), la mécanique quantique ainsi que la mécanique relativiste restreinte et générale deviennent nécessaires. Le modèle du solide (au sens de système indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement important. Les systèmes indéformables (ou quasi indéformables) sont fréquents autour de nous. La mécanique de ces objets acquiert ainsi un intérêt concret et directement utile. Même si les phénomènes en jeu nous semblent familiers (les forces de con- tact par exemple), leur compréhension et leur description mathématique restent difficiles. Loin d'être évident, le mouvement des objets ou la cause de ces mouvements restent parfois hors du " sens commun » et de l'intui- tion. Dans cet ouvrage destiné aux élèves de seconde année de CPGE, on rap- pelle dans le cours tous les théorèmes et relations au programme. Les exer- cices proposés sont issus pour la plupart d'écrits et d'oraux de concours d'entrée aux Grandes Écoles. Que ces exercices soient des vérifications et applications directes du cours ou qu'ils permettent de vérifier sa maîtrise et de s'entraîner, leur correction est toujours explicite et détaillée. Nous espérons que les étudiants trouveront ici les moyens de se familiariser avec les lois de la mécanique des systèmes. Nous voulons remercier très chaleureusement Philippe Fleury pour ses con- seils et ses remarques toujours judicieux et constructifs, les éditions Nathan, et tout particulièrement Isabelle Ravilly pour ses travaux d'éditions.Jean-Claude Hulot
Marc Venturi
© Nathan,classe prépa
Sommaire
Avant-propos ......................................................................................................... 3
1Le centre de masse des systèmes matériels
1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7
2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11
savoir résoudre les exercices ........................................................................ 15
corrigés .......................................................................................................... 18
2Cinématique du solide
1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23
2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24
3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26
4 - Rappel des lois de composition des vitesses
et des accélérations ........................................................................................
28savoir résoudre les exercices ........................................................................ 33
s'entraîner ..................................................................................................... 36
corrigés .......................................................................................................... 37
3La résultante et le moment cinétiques
1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41
2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43
3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44
savoir résoudre les exercices ........................................................................ 49
s'entraîner ..................................................................................................... 52
corrigés .......................................................................................................... 54
4Moment cinétique d'un solide
1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61
2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63
3 - Moment cinétique d'un solide
par rapport à un axe de rotation ...................................................................
65savoir résoudre les exercices ........................................................................ 72
s'entraîner ..................................................................................................... 81
corrigés .......................................................................................................... 83
5Les actions sur un système
1 - La résultante des actions .......................................................................... 91
2 - Le moment des actions ............................................................................ 94
3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 103
s'entraîner ................................................................................................... 108
corrigés ........................................................................................................ 113
6Énergie cinétique d'un système matériel
1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125
2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 131
© Nathan,classe prépa
s'entraîner ................................................................................................... 138
corrigés ........................................................................................................ 141
7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle
1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147
2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 155
s'entraîner ................................................................................................... 159
corrigés ........................................................................................................ 162
8Théorème de la résultante cinétique
1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171
2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 176
s'entraîner ................................................................................................... 185
corrigés ........................................................................................................ 188
9Théorème du moment cinétique
1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195
2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196
3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197
4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 202
s'entraîner ................................................................................................... 211
corrigés ........................................................................................................ 213
10Théorème de l'énergie cinétique
1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221
2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222
3 - Système de solides .................................................................................. 224
4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 231
s'entraîner ................................................................................................... 237
corrigés ........................................................................................................ 239
11Actions de contact
1 - Description des actions de contact ......................................................... 249
2 - Les lois de Coulomb du frottement ....................................................... 251
3 - Puissance des actions de contact ............................................................ 254
savoir résoudre les exercices ...................................................................... 257
s'entraîner ................................................................................................... 262
corrigés ........................................................................................................ 269
Index ....................................................................................................................... 287