Cours de Mécanique Mr Barreau Le centre d'inertie (noté G) d'un solide ou d' un ensemble de solides E est le Moment d'inertie de p/ (point ; Axe ; Plan) :
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modéliser des grandeurs comme, moment d'une force, moment d'inertie et moment cinétique etc ♢ Soit (A, ) un vecteur lié et O ∈ ξ Le moment en O du
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Exemple Calcul du moment d'inertie d'une sphère creuse homogène de masse m, de rayon R par rapport à un axe passant par son centre
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Mécanique du solide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier On définit le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe ∆ :
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sont les moments principaux d'inertie (valeurs propres) sont les vecteurs propres , sont Parallèles aux axes principaux d'inertie Page 103
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Mécanique Page 1 sur 17 Pour un solide en translation : On a I I effet Le moment d'inertie par rapport à un axe ∆ est la somme des moments d'inertie par
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En supposant que l'extrémité A glisse sans frottements sur le sol, calculer la vitesse v0 du centre G de la tige quand celle-ci heurte le sol Le moment d'inertie de la
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C'est le moment d'inertie du point A par rapport à l'axe ( )0 z e,O r Chapitre 4 Dynamique du solide DEUST VAS 2 Catherine Potel - 4 12 - Université du
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Cours de Mécanique Mr Barreau Le centre d'inertie (noté G) d'un solide ou d' un ensemble de solides E est le Moment d'inertie de p/ (point ; Axe ; Plan) :
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– Patineur : en croisant les bras il diminue son moment d'inertie et augmente sa vitesse de rotation Explication en termes de forces : c'est la force de Coriolis qui
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IUT CACHAN - GMP 2 Cours de Mécanique Mr Barreau Octobre 2002
ELEMENTS d'INERTIE d'un SOLIDE
Centre d'inertie - Centre de masse -centre de
*Définition : On montre en dynamique que le comportement d'un solide fait intervenir 3 grandeurs de géométrie des masses.Une grandeur scalaire : la masse. (un nombre)
Une grandeur vectorielle : la position du CG (trois nombres). Une grandeur tensorielle : la matrice d'inertie en un point (six nombres). Le centre d'inertie (noté G) d'un solide ou d'un ensemble de solides E est le barycentre des masses.Pour connaître la coordonnée de G :
E EE dmOPMdmdmOPOG..1.
Ou, en projection :
Eg dmxmx.1 Eg dmymy.1 Eg dmzmz.1 étant la masse spécifique du système E au point P, d. *Cas Particulier des solides homogènesNature du
solide Masse spécifique Masse Centre d'inertie dldm. L dlm. LdlOP dldlOP OG L LL dsdm. S dsm. SdsOP dsdsOP OG S SS dvdm. V dvm. VdvOP dvdvOP OG V VV *Détermination de la position du centre d'inertie Choix pertinent des axes (si le solide admet un axe, ou un plan de symétrie alors G appartient à cet axe ou à ce plan. Choix du paramétrage (cartésien, polaire, cylindrique, sphérique) Domaines d'intégration. Bien choisir les bornes. *Théorème de Guldin la surface de révolution engendrée par une ligne plane de longueur L tournant autour d'un axe () situé dans son plan sans le traverser est égale au produit de la longueur de la circonférence décrite par le CG de la ligne par la longueur de la ligne elle même.Eléments d'inertie d'un solide
*Définition dans le cas d'un point matériel (p):Moment d'inertie de p/ (point ; Axe ; Plan) :
Produit d'inertie de p/(2 plans
1, 2) :
Avec d1 = distance de P à
1 et d2 = distance de
P à
*Définition dans le cas d'un solide (S): SP dmdIIISSOS. 2Produit d'inertie de S/(2 plans
1, 2) :
SP dmddJ S.. 21)2,1/( *Expressions analytiques kzjyixOP
Moment d'inertie de S /(point O) :
Moment d'inertie de S /(axe Ox) :
Moment d'inertie de S /(plan xOy)
Produit d'inertie de S /(plans xOy ; xoz) :
*Relations entre les éléments d'inertieOySyOzSxOySOxSxOzSxOySOSzOxSyOzSxOySOSOz
SOySOxSIIIIIIIIII
*Matrice d'inertie d'un solide en O zyxO I SO E dmGP0. dmIp 21..)(ddmJp SP dmzyxIOS).( 222
dmzyI SP
OxS).(
22SP dmzIxoyS).( 2 SP dmyzJxozxoyS..),/( zyxOSSSSSSSSS dmyxdmyzdmxzdmyzdmzxdmxydmxzdmxydmzy I SO IUT CACHAN - GMP 2 Cours de Mécanique Mr Barreau Octobre 2002
Autre notation de la matrice d'inertie
zyxOCDEDBFEFA
I SO si le solide admet des plans de symétrie : si xOy plan de symétrie, alors z varie de z 0 donc : 0. S dmxzE 0. S dmyzD si yOz plan de symétrie, alors x varie de x 0 donc : 0. S dmxzE 0. S dmxyF si xOz plan de symétrie, alors y varie de y 0 donc : 0. S dmxyF 0. S dmyzD d'autre part si le solide admet xoy comme plan de symétrie alors l'axe Oz est un axe principal d'inertie. Si Ox joue le même rôle que Oy alors A=B *Théorème de Huygens Relation entre les moments d'inertie d'un solide / 2 points (pt G et un pt qq) 2222dmGSIcbamGSIoSI Relation entre les moments d'inertie d'un solide/2points qq. 22
)/(ddmIoSIoS Relation entre les moments d'inertie d'un solide / 2 axes parallèles 222
dmGxSIcbmGxSIOxSI
Les 2 axes sont quelconques
22ddmSISI Relations entre les moments d'inertie d'un solide par rapport à deux plans 2 .)/()'/(dmSISI
Aucun des plans ne passe par G
22ddmSISI Relation entre les produits d'inertie / plans parallèles deux à deux. abmyGzxGyJyOzxOzJcamxGzxGyJyOzxOyJcbm Théorème de Huygens généralisé à la matrice d'inertie ),(),(222222 xyzGxyzGxyzGXYZO cba
GOavecbamcbmcamcbmcambamcambamcbm
SGISOI
Moment d'inertie d'un solide
quelconque passant par unOn connaît la matrice d'inertie au
point O : );(SOI,On veut calculer le moment d'inertie
par rapport à l'axe : )/(SI R cba u R zyx OP Le distance de P à peut être exprimée par : OPu SPSP dmOPudmdIS.)(. 22OOOOOO
EacDcbFbacCbBaAIS...2...2...2...
222autre expression : uSOIuSI ),(),(),(XYZOxyzGxyzG czZbyYaxX OP zyx GP cba GO