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1
MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LA 201 SECTION B
ANNEE 2006-2007
UPMCA. ALLICHE
2 CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL - RAPPELS DE MATHEMATHIQUES1 Espace vectoriel et représentation d'un vecteur.
Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait 3 , de base 123(,,)beee formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de b :
112233
vveveve e ou bien sous la forme 3 1 ii i vv Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l'indice muet ou convention d'Einstein : ii vveL'indice répété i est l'indice muet sur lequel se fait l'opération. Cette convention n'est
applicable que dans le même monôme.L'espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une
base. On notera : 123(,,)beee 122
(;,,)ROeee
2 Opérations sur les vecteurs
2 - 1 Produit scalaire
Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur telle que la forme quadratique associée soit définie positive. Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E associe le réel et uv (,)fuv . Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des arguments.Notation :
(,).fuvuv La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété : UPMCA. ALLICHE
3 (,)..(,)fuvuvvufvu Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est positif et ne s'annule que si le vecteur .uu 0uRemarques :
On définie le produit scalaire de 2 vecteurs et uv dans une base par : 123(,,)beee 33
11 iijjijijiijj ij uvueveuveeueve Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : .0uv
Cette dernière propriété nous permet d'écrire que dans le cas d'une base orthonormée nous
avons : 1 si 0 si ijij ij ee ij D'où une autre écriture possible pour le produit scalaire :112233
iijjii uvueveuvuvuvuv Norme d'un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la norme euclidienne : 1/22 iii i uuuuuu On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit scalaire impliquant l'angle entre les deux vecteurs : ..cos(,uvuvuv)2 - 2 Produit mixte
Soit E un espace vectoriel de base
123(,,)beee . On appelle produit mixte des vecteurs de E, leur déterminant dans la base, et uvw 123
(,,)beee . On le note : UPMC
A. ALLICHE
4 (,,)(,,)uvwDetuvw On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.Propriétés :
Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est directement liée à celle des déterminants : (,,)(,,)(,,)uvwwuvvwu Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul : (,,)0,, liésuvwuvw Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.2 - 3 Produit vectoriel :
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
l'application ER wuvw est une forme linéaire.Il existe un unique vecteur
de E tel que : ,()(,,).wEwuvwwDémonstration :
est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument. unicité de la deuxième proposition :Supposons qu'il existe deux vecteurs et '
tel que : ,()(,,).'.wEwuvwww alors et donc le vecteur (').0wEw est orthogonal à tout vecteur de E. C'est un vecteur nul 'Existence :
Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de , et uvw UPMCA. ALLICHE
5 111222
333
uvw Puvw uvw
Nous aurons
123322133131221
(,,)det()()()uvwPwuvuvwuvuvwuvuvSi l'on pose pour
233211331212213
()()(uvuveuvuveuvuve)Nous obtenons alors :
(,,).uvwwLe vecteur
ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,uv et on note : uvRetour au produit mixte :
Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante : (,,).uvwuvwLes propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d'écrire :
(,,).(,,)(,,).uvwuvwvuwvwuuvwExpression du produit vectoriel :
Le produit vectoriel uv
peut s'écrire de divers manières, en particulier en se servant de l'expression du déterminant précédente, on aura :223311
12331122
uvuvuv uveee uvuvuv 3 esPropriétés du produit vectoriel :
a) L'application de EE dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative. b) et uvuuvv c) 0, colinéairuvuvFormule du double produit vectoriel
UPMCA. ALLICHE
6 ()(.)(.)uvwuwvuvw (démonstration en TD)2 - 4 Division vectoriel :
Soient deux vecteurs et vw
connus, existe-t-il un vecteur x tel que : vxwRemarque :
doit être non nul v doivent être orthogonaux et vw vSi existe, alors x x est aussi solution. Recherchons maintenant le vecteur en fonction de x et vw En multipliant vectoriellement par , on obtient : v ()vvxvw En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l'expression suivante : 2 1 (.)(.)vxvvvxvwxvvw v On peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus : 2 1( vvw vxvvvw vv 2 en développant ce double produit vectoriel, on obtient : 2 (.)vww vxw vCette solution n'est valable que si .0vw
3 - Identité de Lagrange
Théorème :
Soient deux vecteurs de E. et uv
L'identité de Lagrange est définie par la relation suivante : 222 (.).uvuvuv 2
Démonstration :
2 ().()(,,)(,,)(().)uvuvuvuvuvvuvuvuvu UPMCA. ALLICHE
7 En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient : ()(.).(.).vuvvvuvuvD'où :
2222 .(.uvuvuv L'identité de Lagrange nous permet d'écrire une autre formulation du produit vectoriel : ().sin(,uvuvuv
Démonstration :
2222222
22.(.).(1cos(,)).(sin(,uvuvuvuvuvuvuv 2 et donc : .sin(,uvuvuv v
Orientation du produit vectoriel :
Considérant le plan passant par le point O et contenant les vecteursuet )ee . Soient (, une base de ce plan. Soit e 12 3 un vecteur perpendiculaire à ce plan et tel que 123(,,)eee constitue une base orthonormé directe de E : on dit que le plan est orienté pare 3 . On a alors l'expression du produit vectoriel : 3 ().sin(,).uvuvuve
4 - Applications
est l'aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteursu. uv ,v le produit mixte est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs (,,)uvw ,,uvw w uv v u u v hAire parallélogramme :
Aire = Base * Hauteur = ..covhvus
Volume parallélépipède :
UPMCA. ALLICHE
8Volume = Base * Hauteur = ..cos().(,,uvwuvwuvw
UPMCA. ALLICHE
9CHAPITRE 2 - TORSEURS
I- Applications antisymétriques.
Soit une application de l'espace vectoriel E dans E : ( )uMLuML est antisymétrique : , uvExE
- uLvvLu Propriété : Toute application antisymétrique est linéaire. 12 , uuE et 12 , on a :122112
, LuuLuLu 2 Soit maintenant la matrice représentant l'application par rapport à la base orthonormée directe de E : L 123, , eee
111213
212223
313233
l l lLl l l
l l l avec11111111
- - 0 jijijiji leLeeLel leLeeLelpourtoutij r rPosons arbitrairement
123132231
- ; ; - lrlrl d'où on remarque alors que 3231
21
0 - 0 - - 0 rr Lr rr uE LuRu où est appelé le vecteur caractéristique de l'application antisymétrique L .
112233
Rrerer
e UPMCA. ALLICHE
10Expression du vecteur caractéristique :
Si sont les vecteurs unitaires de la base orthonormée de l'espace vectoriel E, alors on a la relation suivante : 1323e,e,e 3 1 1 2 ii i ReLe Démonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ; 333
111
()()(.).(.).2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14