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Statistiques : cours (compléments de 1 ère) 1/3

Première ES - Lycée Desfontaines - Melle

Statistiques :

Paramètres de position et de dispersion (compléments de 1

ère)

Dans ce chapitre :

o x

1, x2, x3, ...,xk désigneront :

▪ les valeurs possibles du caractère dans le cas d'une série discrète. ▪ Les centres des classes dans le cas d'une série continue. o n

1, n2, n3, ..., nk désigneront les effectifs des valeurs x1, x2, x3, ...,xk.

o N désignera l'effectif total : N = n

1 + n2 + n3 + ... + nk

o f

1, f2, f3, ... , fk désigneront les fréquences respectives des valeurs x1, x2, x3, ...,xk (())fi = ni

N

Valeurs du caractère ou

centre des classes x i x1 x2 x3 ... xk TOTAL

Effectif partiel ni n1 n2 n3 nk N

Fréquence fi f1 = n1

N f2 = n2

N f3 = n3

N fk = nk

N 1 I. Paramètres de position : moyenne arithmétique, médiane, mode... A - Moyenne arithmétique (voir cours de seconde)

1. Effet de structure

(voir TD)

2. Lissage par moyennes mobiles :

On appelle série des moyennes mobile d"ordre 1 la série T2, T3, ..., T11 ou T2= t1+t2+t3 3 , T3= t2+t3+t4 3

Remarques :

- Cette série ne contient plus que 10 valeurs contrairement à la série initiale qui en contenait 12.

- On peut également parler de série des moyennes mobiles d"ordre 2. Dans ce cas cette série ne contiendrait

plus que ....... valeurs. - On peut plus généralement parler de série des moyennes mobiles d"ordre k... Réaliser un lissage d"une série chronologique d"ordre k c"est remplacer la série initiale par la série des moyennes mobiles d"ordre k.

Voir TD "lissage par moyennes mobiles"

Le lissage par moyennes mobiles

est une technique permettant d"atteindre deux objectifs : - mettre en évidence une périodicité (par exemple des variations saisonnières) en gommant les irrégularités. - mettre en évidence la tendance générale , en éliminant une périodicité, en gommant des irrégularités, ....

Remarque

: Plus k est grand et plus on dit que l"on lisse la courbe de la série initiale.

B - Médiane (voir cours de seconde)

C - Mode et classe modale (voir cours de seconde)

Une série chronologique est une succession de valeurs numériques ordonnées dans le temps, usuellement à intervalles

égaux.

Exemple : Températures relevées du mois de janvier noté m

1 au mois de décembre noté m12

Date m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12

Température t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12

Moyenne mobile

d"ordre 1

T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11

Statistiques : cours (compléments de 1 ère) 2/3

D - Quantiles

Les quantiles sont les valeurs qui partagent la série en parties égales :

il y a les quartiles (qui partagent la série en 4 parties égales) les déciles (partage en 10), les centiles(partage en 100)...

• Le 1erquartile Q1 (respectivement le 3ème quartile Q3) est le plus petit nombre de la série tel qu'au moins 25%

(respectivement 75%) des données soient inférieures ou égales à ce nombre.

• Le 1er décile D1 (respectivement le 9ème décile D9) est le plus petit nombre de la série tel qu'au moins 10%

(respectivement 90%) des données soient inférieures ou égales à ce nombre. Répondre à la question 8 de l"annexe 1 et aux questions 10 et 11 de l"annexe 2 .

II. Paramètres de dispersion : étendue, intervalles interquartiles et interdéciles, écart-type

A - Etendue (voir cours de seconde)

B - Intervalles interquartile et interdécile

Répondre à la question 10 de l"annexe 1 et à la question 13 de l"annexe 2.

C - Diagramme en boites

Dans l"exercice sur

"l"étude de la taille en cm des enfants de 68 mois", la série était caractérisée par :

médiane : 113 1

er quartile : 110 3ème quartile : 117 1er décile : 108 9ème décile : 119

On représente alors ces données sous forme d"un diagramme en boites

Ce type de diagramme est aussi appelé diagramme de Tuckey, boîte à moustaches ou boîte à pattes.

Il utilise le 1

er et le 3ème quartile, les valeurs extrêmes, ainsi que la médiane d'une série.

On peut choisir une graduation horizontale permettant de représenter les différentes valeurs de la série.

On pourra par exemple graduer entre 94 et 128.

Le "corps" du diagramme, c'est-à-dire la "boîte" est formée d'un rectangle ayant pour extrémité inférieure le 1

er quartile et pour

extrémité supérieure le 3ème quartile. A l'intérieur de ce rectangle on trace un segment représentant la médiane.

Ce rectangle représente les données contenues dans l'intervalle interquartile.

Remarques :

Une boîte avec des "pattes" courtes indique que la série est assez concentrée autour de sa médiane.

Au contraire des "pattes" longues indiquent que la série est assez dispersée. Un des avantages de cette représentation est qu'elle nécessite très peu de calculs. Répondre à la question 11 de l"annexe 1 et à la question 14 de l"annexe 2. L'écart interquartile est la différence Q3-Q1 . L'intervalle interquartile est [ ]Q1;Q3 L'écart décile est la différence D9-D1. L'intervalle interdécile est [ ]D1;D9

Q1 Q3Med

diagramme en boites

96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 12894tailles en cm

Min Max

Statistiques : cours (compléments de 1 ère) 3/3

D - Variance et écart-type

1. Préambule.

Propriété :

La moyenne est le réel qui rend minimale la fonction : x→( ) 2 1i p i i in x x

On pourra le démontrer ultérieurement.

Remarque : La moyenne ne minimise pas :

1i p i i ix n x x

2. Définitions :

D'après la propriété ci-dessus, la fonction 2 1i p i i ix n x x -∑?donc la fonction( ) 2 1 1i p i i i x n x xn -∑?admet un minimum pour x x= et ce minimum est appelé la variance V de la série statistique.

On a donc

22 2 2

1 1 2 2

11 1...=

i p i ip p i

V n x x n x x n x x n x xn n

En remarquant que V est un réel positif, on appelle alors écart-type

σ de la série statistique le réel Vσ=

3. Propriétés :

La variance se calcule également par la formule : 2 2 1 1i p i i i

V n x xn

Démonstration (voir page 138 du livre)

Remarques :

- Si les valeurs de la série sont données avec leurs fréquences if , alors : 22 2

1 1i p i p

i i i i i iV f x x f x x

- L'écart-type est un réel positif. Il mesure la dispersion des valeurs de la série autour de la

moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées Répondre à la question 12 de l"annexe 1 et à la question 15 de l"annexe 2.quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44