CALCUL INT´EGRAL PDF Integ

4 Croissance de l'intégrale 5 Fonction continue de signe constant et d'intégrale nulle

ale d'une fonction continue par morceaux Théorème : (de b/ Théorème de l'intégrale nulle

Primitives et intégrales

VES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 Lemme 37 1 Soit f une fonction primitivable [a, b] et sa dérivée f est identiquement nulle La réciproque est évidente

Intégrale dune fonction continue sur un segment et dérivation

e 4 : Intégrale d'une fonction continue sur un segment et dérivation Analyse Page 1 sur 10 est une primitive, elle est nulle en a, et c'est la seule d' après (2) (4) Soit G une

Propriétés de lintégrale sur un segment dune fonction

analysePDF

03 - Intégration Cours complet - cpgedupuydelomefr

?me 2 5 : cas de nullité de l'intégrale d'une fonction continue et positive Définition 2 3 : intégrale pm([a,b],), positive, f est minorée par la fonction nulle, en escaliers sur [a,b], alors

INTÉGRATION SUR UN SEGMENT - Christophe Bertault

tion-théorème (Intégrale d'une fonction continue par morceaux) Soit f ∈ [a, b], (v) Si f et g sont égales sauf en un nombre fini de points, g − f est nulle partout sauf en ces points

CALCUL INT´EGRAL

4 Croissance de l'intégrale 5 Fonction continue de signe constant et d'intégrale nulle

Définition de lintégrale sur un intervalle compact dune fonction

grale d'une fonction continue Le deuxième morceau étant de limite nulle, on en déduit que 2 ln

Intégration sur un segment - Maths-francefr

gration d'une fonction continue par morceaux sur un segment page 12 une fonction continue, positive et non nulle sur [a, b] a une intégrale strictement positive

[PDF] integrate of e^x cosx-sinx dx

[PDF] intégration du genre dans les projets de développement

[PDF] intégration numérique exercices corrigés pdf

[PDF] integrer science po en bac+2

[PDF] intel core i9

[PDF] intensive english program

[PDF] intention de vote 2eme tour

[PDF] inter commerce date sheet

[PDF] inter result commerce 2015

[PDF] interaction entre l'homme et son environnement

[PDF] interactive pictures in 3-d france

[PDF] interdiction de faire du feu dans son jardin

[PDF] interdiction feu haute corse

[PDF] intérêt de la mycorhization sur la croissance et la nutrition minérale du palmier dattier

[PDF] interférences terminale s

17-11- 2014J.F.C. p. 1

CALCUL INT

´EGRAL

I NOTION DE PRIMITIVE

1. Notion de primitive

2. Le cas des fonctions continues

3. Quelques r´esultats utiles pour calculer des primitives

4. Quelques formules de trigonom´etrie utiles pour calculer des primitives

5. Primitives usuelles

II INT

´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

1. D´efinition

2. Relation de Chasles

3. Lin´earit´e de l'int´egrale

4. Croissance de l'int´egrale

5. Fonction continue de signe constant et d'int´egrale nulle

6. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz

7. Valeur moyenne

III INT

´EGRATION PAR PARTIES. CHANGEMENT DE VARIABLE.

1. Int´egration par parties

2. Changement de variable

IV FORMULES DE TAYLOR

1. La formule de Taylor avec reste int´egral

2. L'in´egalit´e de Taylor-Lagrange

3. La formule de Taylor-Young

4. Remarques

V SOMMES DE RIEMANN

1. D´efinition

2. Le th´eor`eme fondamental

J.F.C. p. 2

VI INT´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX

1. D´efinition d'une fonction continue par morceaux

2. Une caract´erisation

3. Quelques propri´et´es

4. Int´egrale d'une fonction continue par morceaux

5. Propri´et´es de l'int´egrale d'une fonction continue par morceaux

6. Quelques diff´erences importantes

VII SAVOIR FAIRE

VIII UN BREF R

´ESUM´E DE FAUTES`A NE PAS FAIRE

IX COMPL

´EMENTS

1. Moins que rien

2. Une banalit´e bien utile

3. Encadrement de l'int´egrale d'une fonction monotone

4. Des int´egrales usuelles

5. Lemme de Riemann-Lebesgue

6. Encore la stricte croissance

7. Int´egrations par parties it´er´ees

8. Calcul de primitives classiques

9. Premier th´eor`eme de la moyenne

10. Beaucoup plus sur les sommes de Riemann

11. Prolongement des fonctions de classeCp

12. Formule de Taylor-Lagrange

13. Validit´e des formules de Taylor

14. L'´equation diff´erentielley′+ay= 0

X COMPL

´EMENTS (suite) : VALEUR APPROCH´EE D'UNE INT´EGRALE

1. G´en´eralit´es

2. M´ethode des rectangles

3. Le point moyen

4. La m´ethode des trap`ezes

5. Simpson

J.F.C. p. 3CALCUL INT´EGRAL

ISi vous trouvez quelques "coquilles" dans ces feuilles merci de me les signaler (jean-francois.cossutta@wanadoo.fr).

Mentionne des r´esultats particuli`erement utiles dans la pratique des s´eries, souvent oubli´es...

⋆Mentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde. SD Mentionne des r´esultats qu'il serait bon de savoir d´emontrer.

Notions ou r´esultats qui ne semblent pas toujours tr`es importants mais qui figurent explicitement dans le pro-

gramme donc qui sont exigibles.

A partir de programme des concours 2015 la construction de l'int´egrale est hors programme. On revient donc `a la

notion de primitive suivie de la notion d'int´egrale.

Dans la suite les fonctions consid´er´ees sont des fonctions num´eriques de la variable r´eelle.

Sauf mention du contraire, dans tout ce qui suit,Iest un intervalle deRnon vide et non r´eduit `a un point. Nous

ne le dirons pas `a chaque fois.

De mˆeme lorsque nous ´ecrirons [a,b], et sauf cas particulier, il sera entendu queaetbsont deux r´eels tels que

a < b.

Conform´ement au programme nous donnerons (le plus souvent) des ´enonc´es pour des "fonctions d´efinies sur un

intervalle deR". Clairement beaucoup de r´esultats s'´etendent `a des fonctions dont le domaine de d´efinition est une

r´eunion finie (ou infinie et non pathologique) d'intervalles.

I PRIMITIVES ET INT

´EGRALES

I1. Notion de primitive

Def. 1

Iest un intervalle deRetfune application deIdansR.

Uneprimitive de f sur Iest une application d´erivableFdeIdansRtelle que:∀x∈I, F′(x) =f(x).

Th. 1 Iest un intervalle deRetfune application deIdansR.

1. SiFest une primitive defsurI, pour tout r´eelλ,F+λest encore une primitive defsurI.

2. SiFest une primitive defsurI, toutes les primitives defsurIdiff`erent deFd'une constante.

Autrement dit on obtient toutes les primitives defsurIen ajoutant `aFles constantes. ⋆⋆Le premier r´esultat vaut siIn'est pas un intervalle mais pas le second!x→1 x a surR∗des primitives qui ne diff´erent pas n´eccessairement d'une constante. Th. 2

Iest un

intervalle deR.fest une application deIdansRposs`edant une primitive surI.cest un

´el´ement deIetλun r´eel.

Il existeF1une primitive defsurIet une seule qui prend la valeurλenc(∀x∈I, F1(x) =F(x)+λ-F(c)).

⋆⋆Ici encore ce r´esultat tombe en d´efaut siIn'est pas un intervalle. ⋆⋆La fonction partie enti`ere ne poss`ede pas de primitive surR.

J.F.C. p. 4

I2. Le cas des fonctions continues

Th. 3 Soitfune applicationcontinued'un intervalleIdeR.cest un ´el´ement deIetλest un r´eel. •fposs`ede une primitive surI. •On obtient toutes les primitives defen ajoutant `a l'une d'entre elles les constantes. •fposs`ede une primitive surIet une seule qui prend la valeurλenc. •Toute primitiveFdefsurIest de classeC1surIet∀x∈I, F′(x) =f(x). ⋆⋆Il existe des fonctions qui poss`edent des primitives sans ˆetre continue. Posonsf(0) = 0 et∀x∈R∗,f(x) = 2xsin1 x -cos1 x

·F(0) = 0 et∀x∈R∗,F(x) =x2sin1

x est une primitive de fsurRmais n'est pas continue en 0. I3. Quelques r´esultats utiles pour calculer des primitives... Th. 4 uetvsont deux applications d´erivables deIdansR. •uvest une primitive deu′v+uv′surI. •Sivne s'annule pas surI,u v est une primitive surIdeu′v-uv′ v 2· •Sinappartient `aN,1 n+ 1un+1est une primitive deu′unsurI. Th. 5 uest une application d´erivable deIdansRqui ne s'annule pas surI. •ln|u|est une primitive deu′ u surI. •Sinappartient `aZet sinest dif´erent de-1,1 n+ 1un+1est une primitive deu′unsurI. Th. 6 uest une application deIdansRd´erivable et strictement positive surI. uest une primitive deu′ 2 u surI. •Siαappartient `aRet siαest diff´erent de-1,1 α+ 1uα+1est une primitive deu′uαsurI. P

Pour trouver une primitive def=u′

u βil est fortement conseill´e de partir def=u′u-β, lorsqueβ̸= 1... I4. Quelques formules de trigonom´etrie utiles pour obtenir des primitives...

⋆⋆⋆Il est essentiel de savoir par coeur les formules de trigonom´etrie et de maˆıtriser la technique de lin´earisation

pour calculer des int´egrales faisant intervenir des fonctions circulaires.

Prop. 1

∀a∈R,cos2a=1 + cos(2a) 2 ∀a∈R,sin2a=1-cos(2a) 2

Prop. 2

aetbsont deux r´eels. sinacosb=1 2 sin(a+b) + sin(a-b)) cosasinb=1 2 sin(a+b)-sin(a-b)) cosacosb=1 2 cos(a+b) + cos(a-b)) sinasinb=1 2 cos(a-b)-cos(a+b))

J.F.C. p. 5

Prop. 3θest un r´eels tel quet= tanθ2soit d´efini c'est `a dire tel queθ̸≡π[2π].

sinθ=2t 1 +t2 cosθ=1-t2 1 +t2 tanθ=2t

1-t2siθ̸≡π

2 [2π]

I5. Primitives usuelles

f D

Une primitive defsurD

n∈N x→xn R x→1 n+ 1xn+1 n∈N- {1} x→1 x n R x→ -1 n-11 x n-1 x→1 x R x→ln|x| x→1 2 x R x

α∈R- {-1}

x→xα R x→1

α+ 1xα+1

a∈R∗ +- {1} x→ax R x→1 lnaax x→lnx x R x→1 2 ln2x x→1 xlnx R +- {1} x→ln|lnx| x→lnx R x→xlnx-x x→cosx R x→sinx x→sinx R x→ -cosx x→1 + tan2x D tan x→tanx x→1 cos 2x D tan x→tanx x→1 + cot2x D cot x→ -cotx x→1 sin 2x D cot x→ -cotx (a,b)∈R∗×R x→cos(ax+b) R x→1 a sin(ax+b) (a,b)∈R∗×R x→sin(ax+b) R x→ -1 a cos(ax+b)

J.F.C. p. 6

f D

Une primitive defsurD

x→1 1 +x2 R x→arctanx a∈R∗ x→1 x 2+a2 R x→1 a arctanx a

Et encore...

f D

Une primitive defsurD

x→tanx D tan x→ -ln|cosx| x→1 sinx D cot x→ln|tanx 2 a∈R∗ x→1 x 2+a R x→ln( x 2+a) x→1 1-x2 ]-1,1[ x→arcsinx a∈R∗ x→1 a 2-x2 ]-a,a[ x→1 a arcsinx a

II INT

´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

I1. D´efinition

Th. 7etdef. 2

Soitfune application continue deIdansR. Soientaetbdeux ´el´ement deI. Soitfune application continue deIdansR. SiFetGsont deux primitives defsurI:

F(b)-F(a) =G(b)-G(a).

On appelleintegrale defdeaable r´eelF(b)-F(a) o`uFest une primitive quelconque de fsurI.

Cette int´egrale se note

b a f(t)dt=∫ b a f(u)du=∫ b a f(y)dy=···=∫ b a f(♣)d♣ ⋆Dans∫ b a f(t)dt,test une variable muette d'o`u les autres notations...

Th. 8etdef. 3

Soitfune application continue deIdansR. Soitcun ´el´ement deI. PP h:x→∫ x c f(t)dtest la primitive defsurIqui prend la valeur 0 enc. •En particulierhest d´erivable surIet∀x∈I, h′(x) =f(x).

J.F.C. p. 7

Th. 9SDIetJsont deux intervalles deR.fest une application continue deIdansR.uest une application d´erivable deJdansR `a valeurs dansI .Fest une primitive defsurIetcest un ´el´ement deI.

1.∀x∈J,∫

u(x) c f(t)dt=F(u(x))-F(c).

2.φ:x→∫

u(x) c f(t)dtest d´erivable surJet pour toutxdansJ: ′(x) =u′(x)f(u(x)).

Th. 10

SD IetJsont deux intervalles deR.fest une application continue surIdansR.uetvsont deux applications d´erivables deJdansR `a valeurs dansI .Fest une primitive defsurI.

1.∀x∈J,∫

v(x) u(x)f(t)dt=F(v(x))-F(u(x)).

2.ψ:x→∫

v(x)quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] CALCUL INT´EGRAL

17-11- 2014J.F.C. p. 1

CALCUL INT

´EGRAL

I NOTION DE PRIMITIVE

1. Notion de primitive

2. Le cas des fonctions continues

3. Quelques r´esultats utiles pour calculer des primitives

4. Quelques formules de trigonom´etrie utiles pour calculer des primitives

5. Primitives usuelles

II INT

´EGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN SEGMENT

1. D´efinition

2. Relation de Chasles

3. Lin´earit´e de l'int´egrale

4. Croissance de l'int´egrale

5. Fonction continue de signe constant et d'int´egrale nulle

6. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz

7. Valeur moyenne

III INT

´EGRATION PAR PARTIES. CHANGEMENT DE VARIABLE.

1. Int´egration par parties

2. Changement de variable

IV FORMULES DE TAYLOR

1. La formule de Taylor avec reste int´egral

2. L'in´egalit´e de Taylor-Lagrange

3. La formule de Taylor-Young

4. Remarques

V SOMMES DE RIEMANN

1. D´efinition

2. Le th´eor`eme fondamental

J.F.C. p. 2

1. D´efinition d'une fonction continue par morceaux

2. Une caract´erisation

3. Quelques propri´et´es

4. Int´egrale d'une fonction continue par morceaux

5. Propri´et´es de l'int´egrale d'une fonction continue par morceaux

6. Quelques diff´erences importantes

VII SAVOIR FAIRE

VIII UN BREF R

´ESUM´E DE FAUTES`A NE PAS FAIRE

IX COMPL

´EMENTS

1. Moins que rien

2. Une banalit´e bien utile

3. Encadrement de l'int´egrale d'une fonction monotone

4. Des int´egrales usuelles

5. Lemme de Riemann-Lebesgue

6. Encore la stricte croissance

7. Int´egrations par parties it´er´ees

8. Calcul de primitives classiques

9. Premier th´eor`eme de la moyenne

10. Beaucoup plus sur les sommes de Riemann

11. Prolongement des fonctions de classeCp

12. Formule de Taylor-Lagrange

13. Validit´e des formules de Taylor

14. L'´equation diff´erentielley′+ay= 0

X COMPL

1. G´en´eralit´es

2. M´ethode des rectangles

3. Le point moyen

4. La m´ethode des trap`ezes

5. Simpson

J.F.C. p. 3CALCUL INT´EGRAL

I PRIMITIVES ET INT

´EGRALES

I1. Notion de primitive

Def. 1

1. SiFest une primitive defsurI, pour tout r´eelλ,F+λest encore une primitive defsurI.

2. SiFest une primitive defsurI, toutes les primitives defsurIdiff`erent deFd'une constante.

Iest un

´el´ement deIetλun r´eel.

J.F.C. p. 4

I2. Le cas des fonctions continues

·F(0) = 0 et∀x∈R∗,F(x) =x2sin1

Pour trouver une primitive def=u′

Prop. 1

Prop. 2

J.F.C. p. 5

1-t2siθ̸≡π