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Universit´e Paris Dauphine MIDO/MI2E-L1
Analyse 2
Examen partiel corrig´e
question 2 Sifetgsont deux fonctionsC1sur l"intervalle [a,b] (-∞< a < b <+∞), les fonctionsf g? etf?gsont continues sur [a,b], et leur sommef g?+f?gy admet pour primitivef g. On en d´eduit :?b a[f(x)g?(x) +f?(x)g(x)]dx= [f(x)g(x)]b a et, par lin´earit´e de l"int´egrale, laformule d"int´egration par parties: ?b af(x)g?(x)dx= [f(x)g(x)]ba-? b af?(x)g(x)dx En particulier, sifestC1sur [a,b] = [0,1],g(x) = 1/nsinxestC1sur [a,b], et donc : I n=? 10f(x) cosnxdx=?1n
f(x) sinnx? 1 0 -1n 10f?(x) sinnxdx
qui implique : |f(1) sinn|+1n 10f?(x) sinnxdx????
1n |f(1)||sinn|+1n 1 0? ?f?(x)??|sinnx|dx| 1n |f(1)|+Kn =|f(1)|+Kn question 3 On cherche une primitive def(x) =exln(1 +ex) surIRen calculant : I=? x aeξln(1 +eξ)dξ pour :-∞< a < x <+∞. Pour cela, on utilise le changement de variable :ξ=?(u) := ln(eu-1) en remarquant que? d´efinit une bijection de classeC1de [ln(ea+ 1),ln(ex+ 1)] sur [a,x] (?estC1et??>0 sur ]0,+∞[, et donca fortiorisur [ln(ea+ 1),ln(ex+ 1)] ) : I=? ln(ex+1) ln(ea+1)e?(u)ln?1 +e?(u)?
??(u)du=? ln(ex+1) ln(ea+1)ueudu= [(u-1)eu]ln(ex+1) ln(ea+1) On d´eduit une primitive :F(x) = (ex+ 1) [ln(ex+ 1)-1] defsurIR. analyse2/partiel - 29/03/07Universit´e Paris Dauphine MIDO/MI2E-L1
On cherche une primitive deg(x) =xarctanxsurIRen calculant : J=? x aξarctanξ dξ pour :-∞< a < x <+∞. Pour cela, on int´egre par parties en remarquant que les fonctionsf(x) =x2/2 etg(x) sontC1 surIR, eta fortiorisur tout intervalle [a,x] deIR: J=? x af?(ξ)g(ξ)dξ=? f(x)g(x)? x a-? x af(ξ)g?(ξ)dξ ?ξ22 arctanξ? x a -12 x aξ21 +ξ2dξ=?12
(ξ-arctanξ)? x aOn d´eduit une primitive :G(x) =x22
arctanx+12 (arctanx-x) degsurIR. question 4La fonction :f(x) =11 + 2 cosxest bien d´efinie et continue sur l"intervalle [0,π/2]. Pour cal-
culer :I=?