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Exercices : Analyse combinatoire et probabilite

1. Le jeu de Cluedoconsiste a retrouver l'assassin du Dr. Lenoir, l'arme et le lieu du crime. Sachant qu'il y a six armes, neuf lieux et six suspects, de combien de manieres dierentes le meurtre a-t-il pu ^etre commis? 2. Dans une univ ersite,don tla facult edes sciences se comp osede sept professeurs d'infor- matique, quinze professeurs de chimie, douze professeurs de physique, huit professeurs de mathematique et cinq professeurs de biologie, combien de choix d'un representant de la faculte de sciences peut-on faire? 3. Les plaques d'im matriculationb elgesson tconstitu eesd etrois le ttressuivies de trois chires (exemple : ABC-123). Combien de plaques dierentes peut-on produire? 4.

A l'aide des six c hires: 2 ;3;5;6;7;9 :

(a) com biende nom bresde trois c hiresp eut-onformer ? (b) co mbiende ces nom bresson tinf erieurs a400 ? (c) c ombiende ces nom bresson tsup erieurs a600 ? (d) co mbiende ces nom bresson tpairs ? (e) c ombiende ces nom bresson timpairs ? (f) com biende ces nom bresson tdes m ultiplesde cinq ? 5. Soit n2N. Ecrire un algorithme (en pseudo-code) qui calcule la factorielle den. Prouver la correction et la terminaison de votre algorithme. 6. Prouv erque toute suite de n2+ 1 nombres reels distincts contient une sous-suite de longueur (n+ 1) qui est soit strictement croissante ou strictement decroissante. 7.

Soit une course de quatorze c hevaux.

(a)

Com biende tierc esdi erentsp eut-onjouer ?

(b)

C ombiende quart esdi erentsp eut-onjouer ?

(c)

C ombiend equin tesdi erentsp eut-onjouer ?

8. Lors de l' electiondu titre tr escon voitede Mister Info, le jury doit elireMister Infoet son dauphin. Sachant qu'il y a 25 candidats, combien de choix sont possibles. 9. Lors du conseil d'institut d'informatique, un pr esidentet un secr etairedoiv ent^ etre elus. Donner le nombre de resultats possibles de l'election dans les cas suivants : (a) Cin qprofesseurs et trois etudiantsson tpr esents,tous p euventdev enirsecr etaire ou president. (b) Se ptprofesseurs et quatre etudiantsson tpr esents,tous p euventdev enirs ecretaire mais seul un professeur peut devenir president. 10. De com biende fa consp eut-onc hoisircinq repr esentantsd'une classe con tenant23 eleves? 11. Prou verque le nom brede p ermutationsde nobjets est egal an!. 12. La serrure d'u ncad enass ecom posede trois anneaux p ortantc hacuntous les c hires de 0 a 9. De combien de facons peut-on tenter un essai pour ouvrir le cadenas? 1

13.Une rme a dix v endeurs,de com biende mani eresp eut-onles diviser en :

(a) deux group esde six et quatre v endeurs, (b) de uxgroup esde sept et trois v endeurs. 14. De com biende fa consp eut-onfor merun jury de trois hommes et deu xfemmes parmi sept hommes et cinq femmes? 15. Co mbienexiste -t-ilde mots dans c hacundes cas suiv ants: (a)

Mots de quatre lettres.

(b)

Mots de quatres le ttresdistinctes.

(c) Mo tsde quatres l ettresdistinctes commen cantpar une v oyelle. (d) Mots de quatres lettres distinctes commen cantpar une v oyelleet se term inantpar une consonne. 16. On consid erele triangle de P ascald enir ecursivementde la fa consuiv ante: 8n2Nn 0 =n n = 1 ;80< p < nn+ 1 p+ 1 =n p +n p+ 1 On utilise souvent la representation ci-dessous :0 0 01 A0 1 01 A0 1 11 A0 2 01 A0 2 11 A0 2 21
A. ..(a)Calculer les six premi ereslignes du triangle du P ascal. (b)

Pro uver(par induction sur n) queCpn=n

p , quel que soitp2N. (c) Pr ouverl' egalitesuiv ante(par ind uctionsur n) : (x+y)n=nX k=0C knxkynk: 17.

Prou verles egalitessuiv antes:

(a) nX k=0C kn= 2n(b)nX k=0(1)kCkn= 0 (c)nX k=02 kCkn= 3n: 18. Soi t un univ ers(au plus d enombrable),A; B etP: 2 ![0;1] une mesure de probabilite. Prouver les armations suivantes :

P(;) = 0 ;P(Ac) = 1P(A) ;AB)P(A)P(B) ;

P(AnB) =P(A)P(B) ;P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B):

2

19.On lanc etro ispi ecesde monnaie et on compte le nom brede \face". Quel est l'univers

de cette experience aleatoire? Quelle est la probabilite que\face"apparaisse au moins une fois? 20. T roisc hevauxA,BetCs'arontent lors d'une course. On sait que le chevalAa deux fois plus de chance de gagner que le chevalBet que le chevalBa deux fois plus de chance de gagner que le chevalC. Calculer (i) la probabilite que le chevalAgagne la course, (ii) la probabilite que le chevalCne gagne pas la course. 21.
T roishommes et deux femmes prennen tpart au ntournoi d' echecs.Les p ersonnesde m^eme sexe ont m^eme probabilite de gagner, mais une femme a deux fois plus de chance de gagner qu'un homme. Trouver la probabilite (i) qu'une femme remporte le tournoi, (ii) qu'un homme remporte le tournoi. 22.
Six couples mari esse trouv entdans un restauran t. (a) Si deux p ersonnesson tc hoisiesal eatoirement,trouv erla probabilit equ'elles soien t mariees. (b) Si q uatrep ersonnesson tc hoisiesal eatoirement,trouv erla probabilit equ'aucun couple marie ne soit parmi ces quatre personnes. 23.
Deu xd esson tlanc es.Sac hantque les deux nom bresapparus son tdi erents,trouv erla probabilite (a) que la somme soi tsix. (b) qu 'un1 apparaisse sur l'un des deux d es. (c) q uela somme soit inf erieureou egale aquatre. 24.

So ientAetBdeux evenements tels queP(A) =12

,P(B) =13 etP(A\B) =14 Calculer (i)P(AjB), (ii)P(BjA), (iii)P(A[B), (iv)P(AcjBc) et (v)P(BcjAc). 25.
Soit l'un ivers,A; B etP: 2 ![0;1] une mesure de probabilite. Prouver que si AetBsont des evenements independants, alorsAcetBcsont egalement independants.

26.Probleme des anniversairesCombien de personnes (au minimum) doivent se trouver

dans une piece pour avoir une probabilite plus grande (ou egale) a un demi qu'au moins deux de ces personnes celebrent leur anniversaire le m^eme jour?

27.Filtres a spam BaysienDans le but de detecter automatiquement les messages

electroniques indesirables (spam), certaines bo^tes mails utilisent desltres Baysiens. Un ltre a spam Baysien utilise les informations sur les mails precedemment recus pour \deviner" si un message entrant est (ou non) un spam. En particulier, il se focalise sur l'occurence de certains mots apparaissant dans le mail (i.e. \viagra", \rolex",...) On suppose que l'on a partitionne les messages recus d'une bo^te mail donnee entre les messages qui sont des spams (on noteBcet ensemble) et les messages qui ne sont pas des spams (on noteGcet ensemble). Soit!un mot, on notenB(!) (resp.nG(!)) le nombre de messages de l'ensembleB(resp.G) contenant le mot!. Supposons que l'on recoive un nouveau message contenant le mot!. On voudrait determiner la probabilite que ce message soit un spam. On noteS(resp.Sc) l'evenement \est un spam"(resp.\n'est pas un spam") etE!l'evenement\contient le mot!'. Par 3 le theoreme de Bayes, la probabilite qu'un message est un spam, sachant qu'il contient le mot!est donnee par : P(SjE!) =P(E!jS)P(S)P(E!jS)P(S) +P(E!jSc)P(Sc):(1) Pour evaluer cette expression, on a besoin d'estimer les dierentes composantes. {P(S) (resp.P(Sc)) la probabilite qu'un message envoye soit (resp. ne soit pas) un spam. Sans donnee supplementaire, on peut supposer queP(S) =12 (resp.P(Sc) =12 (Il est a noter que si l'on possede des donnees empiriques sur le pourcentage des spams parmi les messages envoyes, on peut aner cette estimation.) {P(E!jS) la probabilite qu'un message contienne le mot!sachant que c'est un spam. Pour cela, on utilise nos donnees, en estimantP(E!jS) parnB(!)jBj, notep(!). {P(E!jSc) la probabilite qu'un message contienne le mot!sachant que ce n'est pas un spam. De la m^eme facon, on estimeP(E!jSc) parnG(!)jGj, noteq(!).

L'equation (1) devient alors :

P(SjE!) =p(!)p(!) +q(!):

Le ltre a spam peut alors decreter qu'un message est un spam siP(SjE!) est au-dela d'un certain seuil (0:9 par exemple). Soit une bo^te mail contenant 3000 messages, on considere que 2000 de ces messages sont des spams. On suppose que le mot \lottery" appara^t dans 250 des 2000 spams et seulement dans 5 des messages qui ne sont pas des spams. Quelle est la probabilite qu'un mail contenant le mot \lottery" soit un spam? 28.
Un joueur lance une pi ecedeux fois. I lgagne deux euros s'il obti entd euxface, un euro s'il obtient une foisfaceet il perd trois euros s'il ne voit pasface. Calculer l'esperance de gain du joueur dans ce jeu. 29.

T roispi ecesson tlanc eesen l'air, on note

l'univ ersde cette exp erienceal eatoire;i.e. =fF;Pg3. Soit!2 , on notenf(resp.np) le nombre de face (resp. de pile) present dans!. Calculer l'esperance des variables aleatoiresXi: !Rsuivantes : X

1(np;nf) =np+nf;X2(np;nf) =npnf;X3(np;nf) = min(np;nf):

30.
Soi tun examen qui consiste en une s eriede dix Vrai ou Faux(dans lequel les etudiants ne doivent pas justier leurs reponses). Dans chacun des cas suivants, calculer (i) la probabilite qu'un etudiant qui repond au hasard reussisse l'examen (i.e. obtienne une note superieure ou egale a cinq sur dix); (ii) la note moyenne obtenue par un tel etudiant.bonne reponsemauvaise reponseabstention

Cas 1+100

Cas 2+1-10

Cas 3+2+0.5-3

4

31.On consid erel'exp erienceal eatoireo uune pi ecede mo nnaieet un d e( asix faces)

sont lances en m^eme temps. On appelleAl'evenement\La piece tombe sur face"etB l'evenement\Un nombre pair appara^t sur la face superieure du de". (a)

D ecrirel'univ ers

de cette exp erienceal eatoire. (b) D eterminerla probabilit edes evenementssuiv ants: A;AetB;AouB;Asachant B. (c) D eterminersi les evenementsAetBsont independants. (Examen juin 2008) 32.
Soi t l'univ ers(ni) d'une exp erienceal eatoire,Pune mesure de probabilite sur et X . Prouver queP(Xc) = 1P(X).(Examen juin 2009) 33.
Un joueur lance trois fois une pi ecede monnaie. Il gagne cinq euros s'il obtien tau moins deux foisface, un euro s'il n'obtient qu'une seule foisfaceet il perd dix euros s'il ne voit pasface. Calculer l'esperance de gain du joueur dans ce jeu (en precisant quel est l'univers, la fonction de probabilite et la variable aleatoire que vous considerez). (Examen juin 2009) 34.
D ecidersi l'arm ationsuiv anteest vraie ou fausse. Justier v otrer eponse. Soit l'univers (ni) d'une experience aleatoire,Pune mesure de probabilite sur et X . SiP(X) = 1, alorsX= (Examen juin 2009) 35.
Un joueur se rend au casino et d ecidede jouer ala roule tte.P oursimplier les c hoses, on suppose que la roulette est numerotee de 1 a 36 et que le joueur pariera sur le fait que la bille stoppe sur un nombrepairouimpairde telle sorte que s'il gagne, il recoit le double de ce qu'il a mise. Ce joueur va jouer de la facon suivante : (i) il mise toujours surpair, (ii) chaque fois qu'il perd, il rejoue en doublant la mise qu'il vient de perdre, (iii) il arr^ete de jouer s'il gagne ou s'il a perdu cinq fois de suite. Sa mise initiale est de un euro. (a) Donn erl'univ ers,la pro babiliteet la v ariableal eatoirequi p ermettentde d ecrirequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8