14 oct 2011 · LG301 - Histoire des nombres 1 Sommaire 1 Le nombre, la numération, le calcul dans l'Antiquité 2 Deux types de mathématiques; deux
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Le caillou serait donc à l'origine du calcul l'histoire de la numération : Des milliers d'années séparent les os préhistoriques de nos nombres arabes
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également trop rapidement sur l'acceptation des nombres négatifs et des nombres complexes et n'abordons pas les questions liées à la construction des
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DavidAubin 14/10/2011
LG301ͲCours51
Uneȱhistoireȱdesȱ
nombres: concepts,ȱ représentationsȱetȱpratiques daubin.aubin@upmc.fr14/10/2011LG301 - Histoire des nombres1Sommaire
1. Le nombre, la numération, le calcul dans
l'Antiquité2. Deux types de mathématiques; deux types
d'arithmétique en Grèce ancienne3. Les chiffres arabes et l'invention de l'algèbre
4. Mathématiques et commerce en Europe, 1200-
15005. La géométrie analytique de Descartes14/10/2011LG301 - Histoire des nombres2
Qu'estȬceȱqu'unȱnombre?
Représentations physiquesSystème verbal
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•Parties du corps, cailloux, brindilles, encoches, coquillages, ficelles... •Des " chiffres » qui apparaissent en même temps que l'écriture (il y a env. 5000 ans). •Des systèmes de numérotation.•Des sons qui reproduisent les systèmes de numérotation.•Sans doute postérieur aux représentations physiques (pas de mots différents pour des choses différentes)Leopold Kronecker (19
e siècle) :"Dieu a créé les nombres entiers, tout le reste est l'oeuvre de l'homme. »Rappel:ȱConceptionȱmoderneȱ
desȱnombresȱréels14/10/2011LG301 - Histoire des nombres4
•Trois aspects de la question à prendre en compte:1) La conception du nombre:
Quelle est sa nature mathématique ou philosophique?Y a-t-il des types différents de nombres?
2) La représentation des nombres:
Quel système de numération est employé pour écrire les nombres?3) La manipulation des nombres:
En particulier, quels méthodes de calcul sont employées? Peut-on manipuler d'autres objets comme si c'était des nombres (inconnues ou grandeurs géométrique)?14/10/2011LG301 - Histoire des nombres51 leȱcalculȱdansȱl'Antiquité La préhistoire, les " Babyloniens », les Egyptiens, les Grecs14/10/2011LG301 - Histoire des nombres6
DavidAubin 14/10/2011
LG301ͲCours52
L'ethnomathématique
•Due à l'anthropologue brésilien UbiratanD'Ambrosio.
•Leigh Wood: " Toutes les cultures sont mathématisées, dans le sens où toute culture utilise des idées mathématiques dans la vie quotidienne. » •Professeur Mariana Ferreira (SFSU) à une femme xingu dans l'Amazonie: " Vous avez un stylo et je vous en donne un autre: combien de stylos avez- vous? - J'ai un stylo. - Comment obtenez-vous cette réponse? - J'ai un stylo, je n'ai pas besoin de l'autre. »Cf. http://www.ethnomath.org
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Laȱreprésentationȱdesȱ
nombres •Mathématiques préhistoriques= avant l'écriture •Quelques artefacts difficiles à interpréter. •Le bâton d'Ishango(Congo) o168 encoches sur un os, regroupées systématiquement. o25 000 ans avant aujourd'hui.14/10/2011LG301 - Histoire des nombres8
Institutȱroyalȱdesȱsciencesȱ
naturellesȱdeȱBelgiqueLesȱsystèmesȱdeȱ
numérationȱoraux •Pour compter, les habitants de l'île de Pâquesutilisent les doigts des deux mains, mais jamais les orteils. •De 1 à 10, les syllabes sont prononcés comme un seul mot, dans les multiples de10 les mots sont bien
séparés. •Pour se rappeler d'un nombre, on fabrique des faisceaux des joncs. •Thomson, W. J. (1891). Te Pito Te Henua, or Easter Island. Washington, DC:Government Printing Office.
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Laȱnumérationȱdesȱ
Egyptiens
•Aussi vieille que les pyramides: •La base 10: odes symboles pour 1, 10, 100, 1000, 10 000,100 000, 1 000 000...
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1ȱ333ȱ331
Lesȱfractions
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•Dénotation des fractions 1/2, 1/3, 1/4... •La règle de Maya (trésorier de Toutankhamon vers - 1330). •Papyrus de Rhind (vers -1650). •Table de valeurs de 2/n: 6 9 @5 7>5 596 @5 8>5 6< pyrus.jpg?w=578&h=363
LesȱMésopotamiens
14/10/2011LG301 - Histoire des nombres12
8000: premiers jetons
3500-3000: à Uruk,
l'écriture, la comptabilité...Vers 2000: Ur III, la
notation sexagésimale1600-2000: Babylone,
mathématiques florissantes: multiplication, racines, puissances, problèmes algorithmiques.... Uruk UrBabylone
DavidAubin 14/10/2011
LG301ͲCours53
LesȱMésopotamiens
Les " calculis » sumériens
(env. 4000 av. J.-C.)Les cunéiformes (env. 1800 av. J.-C.)14/10/2011LG301 - Histoire des nombres13
Babyloneȱ(versȱ-1800)
•Trios pythagoriciensTablette dite de
Plimpton 322
(Univ. Columbia, NY) •Table de multiplicationUniversity of
Pennsylvania
Museum B6063
14/10/2011LG301 - Histoire des nombres14
pythagoras/items/plimptonȬ322/images/P322obv.png
Unȱsystèmeȱdeȱ
notationȱ positionnel 2Deuxȱtypesȱd'arithmétique
Platon, Euclide, pratiques hybrides.
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Lesȱmathématiquesȱ
grecques •Rappel:Deux types de mathématiques chez Euclide:
géométrie et arithmétique oLes nombres sont composés d'unités; les grandeurs sont toujours divisibles. oLes grandeurs ne peuvent donc pas être représentées par des nombres! oOrigines distinctes chez Eudème de Rhodes: Origine phénicienne des nombres. " c'est assurément chez les Phéniciens, à cause du commerce maritime et des contrats, que la connaissance précise des nombres a débuté [...]. »14/10/2011LG301 - Histoire des nombres16
LaȱnumérationȱdesȱGrecs
•Le système archaïque de l'Attique •Le système ionien: ce système ne permet pas de faire des calculs.Les calculs se font à l'aide
d'un abaque.14/10/2011LG301 - Histoire des nombres17
L'abaqueȱoccidental
•Différent du boulier (=l'abaque oriental) •Détail du vase de Darius (provenant de Canossa)Vers - 350.
Museo Archeologico Nazionale, Naples
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http://www.encyclopedieȬDavidAubin 14/10/2011
LG301ͲCours54
Lesȱchiffresȱromains
•Principes de numération à la fois additifs et soustractifs. •Ne permettent pas d'algorithme de calcul. •Utilisés majoritairement en Europe occidentale jusqu'à la fin du MoyenÂge.
14/10/2011LG301 - Histoire des nombres19
Philosophesȱetȱvulgaire
•Platon(rappel): Philèbe. "SOCRATE: Ne doit-on pas reconnaître qu'il y a une arithmétique pour le vulgaire et une autre propre aux philosophes ? [...] Car les uns font entrer dans le même calcul des unités numériques inégales, par exemple, deux armées, deux boeufs... » "PROTARQUE: Tu as raison de dire que la différence entre ceux qui s'occupent des nombres n'est pas petite, et qu'on est par conséquent fondé à distinguer deux espèces d'arithmétique. » •La logistique (=le calcul et la numération) et l'arithmétique (=science des nombres).14/10/2011LG301 - Histoire des nombres20
Platon,ȱLaȱRépublique
•SOCRATE: l'étude [de la logistique et de l'arithmétique ] est nécessaire au guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais arithméticien. [...] Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions publiques de se livrer à la science du calcul, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence [...].
•S: Et j'aperçois maintenant [...] combien [la science des nombres] est belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on l'étudie pour connaître et non pour trafiquer.G: Qu'admires-tu donc si fort en elle?S: Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en eux-mêmes, sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements des nombres visibles et palpables.