[PDF] [PDF] Centrale-supélec 2014 Corrigé Un corrigé du concours Centrale

[PDF] Centrale Maths 1 MP 2014 — Corrigé

1/22 Centrale Maths 1 MP 2014 — Corrigé Ce corrigé est proposé par Sadik Boujaida (Professeur en CPGE); il a été relu par Christophe Fiszka (ENS Cachan ) 

[PDF] Rapport du jury Filière MP 2014 - concours Centrale-Supélec

18 jui 2014 · La session 2014 du concours Centrale-Supélec n'a pas posé de problèmes Dans cet esprit, il n'y aura pas obligatoirement un sujet commun pour les quatre filières L'oral de maths II reste pour la session 2015 un oral de 

[PDF] Centrale-supélec 2014 Corrigé Un corrigé du concours Centrale

Un corrigé du concours Centrale-supélec Math-II- 2014 Fili`ere MP Proposé par Mr : HAMANI Ahmed I- Définitions et propriétés usuelles I-A Polynômes de 

[PDF] BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2019

2003-2014 des oraux CCP-MP, Éd Ress Pédag Ouv INPT, 0701 (2013) D Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014

[PDF] Mathématiques Annales 2014 - ARPEME

Chaque sujet a été pris en charge par plusieurs correcteurs Dans l'annexe 1 figure un extrait du manuel Cap Maths CE2 (Hatier, 2011) présentant le support écrit Le rayon du disque central (10 cm) est 2 fois plus grand que le rayon du 

[PDF] polynome de tchebychev premier entre eux

[PDF] centrale mp 2015

[PDF] centrale mp 2013

[PDF] centrale mp 2014 physique corrigé

[PDF] schema centrale thermique a flamme

[PDF] controle physique 3eme production d électricité

[PDF] centrale thermique nucléaire

[PDF] fonctionnement centrale hydraulique

[PDF] centrale hydraulique en france

[PDF] centrale hydraulique edf

[PDF] centrale hydraulique huile

[PDF] centrale pc 2009 maths 2 corrigé

[PDF] rapport centrale pc 2016

[PDF] centrale pc 2014 physique 1 corrigé

[PDF] rapport centrale pc 2015

Centrale-supelec 2014CorrigeUn corrig´e du concours Centrale-sup´elec Math-II- 2014 Fili`ere MP

Propos´e par Mr : HAMANI Ahmed

I- D´efinitions et propri´et´es usuelles

I-A

Polynˆomes de premi`ere esp`ece

I-A-1

Les polynˆomesT0,T1,T2etT3

- On a les relations?θ?R,T0(cos(θ)) =1,T1(cos(θ)) =cos(θ),T2(cos(θ)) =2cos2(θ) -1et

T

3(cos(θ)) =4cos3(θ) -3cos(θ).

Donc par unicit´e, on obtientT1=1,T2=X,T2=2X2-1etT3=4X3-3X. I-A-2

Expression deTn

?θ?R,?n?N,ein= (cos(θ) +isin(θ))n=n∑ k=1C kncosn-k(θ)iksink(θ). En prennant la partie r´eelle des deux membres, on obtient cos(nθ) =∑

2kn(-1)kcosn-2k(θ)sin2k(θ) =∑

2kn(-1)kcosn-2k(θ)(1-cos2(θ))k.

Et par unicit´e on auraTn=∑

2kn(-1)kXn-2k(1-X2)k=∑

2knXn-2k(X2-1)k.

I-A-3

Une relation de r´ecurence entre lesTn

?n?N,Tn+2(cos(θ))+Tn(cos(θ)) =cos((n+2)θ)+cos(n(θ)) =2cos((n+1)θ)cos(θ) =2cos(θ)Tn+1(cos(θ)).

Ce qui entraine par unicit´eTn+2+Tn=2XTn+1.

Degr´e et coefficient dominant deTn.

On va montrer par une r´ecurrence forte surnquedom(Tn) =2n-1etdeg(Tn) =n. - La propri´et´e est vrai pourn=0,1,2et3. - Supposons que pour un certainn≥2,dom(Tn) =2n-1,dom(Tn+1) =2n, etdeg(Tn) =n, deg(Tn+1) =n+1, alors,deg(Tn+2) =deg(2XTn+1-Tn) =deg(XTn+1) =1+n+1=n+2. dom(Tn+2) =dom(2XTn+1) =2dom(Tn+1) =22n=2n+1.

Une m´ethode qui utilise l'expression deTn.

On a?n?N,Tn=∑

2knXn-2k(X2-1)k.

On remarque que?k?[0,n/2],n-2k+2k=n, de plus le coefficient deXnest 2kn=1 2 (n∑ k=0(1+ (-1)k)Ckn) =1 2 n k=0C kn+1 2 n k=0(-1)kCkn=1 2 (1+1)n+1 2 (1-1)n=2n-1.

En conclusiondeg(Tn) =netdom(Tn) =2n-1.

I-A-4

Les racines deTn

?n?N?,Tn(cos(θ)) =0⇐⇒cos(nθ) =0⇐⇒θ=(2k+1)π 2n , k?Z. On a donc?k?[[0,n-1]],Tn(cos(θk)) =0o`uθk=(2k+1)π 2n , de plus?k?[[0,n-1]],θk?]0,π[et la fonction cosinus est bijective de] -1,1[vers]0,π[, doncTnadmetnracines distinctes sur] -1,1[, `a savoir lescos(θk)o`uk?[[0,n-1]]. I-B

Polynˆomes de deuxi`eme esp`ece

I-B-1

Expression deUn(cos(θ))

- En d´erivant l'expressionTn+1(cos(θ)) =cos((n+1)θ)par rapport `a la variableθ, on obtient

-sin(θ)T?n+1(cos(θ)) = -(n+1)sin((n+1)θ), ce qui entraine que ?θ?R rπZ,?n?N,T?n+1(cos(θ)) n+1=sin((n+1)θ) sin(θ), c'est `a direUn(cos(θ)) =sin((n+1)θ) sin(θ). I-B-2 a )Une relation de r´ecurence entre lesUn -?n?N,Un+2(cos(θ)) +Un(cos(θ)) =1 sin(θ)(sin((n+2)θ) +sin(nθ)) = 2 sin(θ)(cos(θ)sin((n+1)θ)) =2cos(θ)Un+1(cos(θ)) ce qui donne par unicit´e desUnqueUn+2+Un=2XUn+1. b )Racines deUn - Les racines deUnsont celles deT?n+1, orTn+1admetn+1racines distinctes sur]-1,1[, donc par

application du th´eor`eme des accroissements finies entre deux z´eros cons´ecutifs deTn+1, on obtient

un z´ero deT?n+1, ce qui prouve queUnadmetnracines distinctes sur] -1,1[. 1/ 5

Centrale-supelec 2014Corrige?n?N,Un(cos(θ)) =0⇐⇒sin((n+1)θ) =0⇐⇒(n+1)θ=kπ , k?Z.

Donc?k?[[1,n]],Un(cos(φk)) =0o`uφk=kπ

n+1, lescos(φk)sont distincts deux `a deux grˆace `a la bijectivit´e decosinusde] -1,1[vers]0,π[. Donc les racines deUnsont lescos(φk)o`uk?[[1,n]]. II- Arithm´etique des polynˆomes de Tchebychev II-A

Division euclidienne

II-A-1

T n+mTn-m=2TnTm. U n+m-1+Un-m-1=2Un-1Tm.

II-A-2

a ) - Sim < n < 2m, alors0 < n-m < m, donc d'apr`es(II-A-1),TmTn-m=1 2 (Tn+T2m-n), c'est `a direTn=2Tn-mTm-T2m-n=2Tn-mTm-Tjn-2mjavec0 < 2m-n < 2m-m=m=deg(Tm). T n-mTm=1 2 (Tn+Tn-2m), c'est `a direTn=2Tn-mTm-Tn-2m=2Tn-mTm-Tjn-2mjavec

On conclut queQn;m=2Tn-metRn;m= -Tjn-2mj.

b ) - Soitn= (2p+1)mo`up?N?, on applique l'´egalit´e de(II-A-1)au couple(n,m)←(2km,m) o`uk?[[1,p]], on obtient2T2kmTm=T(2k+1)m+T(2k-1)m, ce qui entraine que

2(-1)p-kT2kmTm= (-1)p-kT(2k+1)m-(-1)p-k+1T(2k-1)m, ce qui donne en sommant dek=1`a

k=p, on obtient par t´el´escopie T n-(-1)pTm=T(2p+1)m-(-1)pTm=p∑ k=1? (-1)p-kT(2k+1)m- (-1)p-k+1T(2k-1)m?=2Tmp k=1(-1)p-kT2km.

DoncTn=Tm?

(-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2km? , donc Q n;m= (-1)pTm+2p∑ k=1(-1)p-kT2kmetRn;m=0. c ) - On consid`ere l'ensembleAn;m=fk?N?/(2k-1)m < ng. Par hypoth`esen?= (2(0) +1)m, donc1?An;mde plusAn;mest major´e par1+E?n/m+1 2 , donc admet un maximump. entier impair, donc(2p-1)m < n <(2p+1)m, c'est `a direjn-2pmj< m. -?k?[[0,p-2]],n- (2k+1)m≥n- (2p-3)m≥2m > m, donc ?k?[[0,p-2]],2TmTn-(2k+1)m=Tn-2km+Tn-(2k+2)m, donc

2(-1)kTmTn-(2k+1)m= (-1)kTn-2km- (-1)k+1Tn-(2k+2)m, ce qui donne par t´el´escopie en som-

mant dek=0`ak=p-2 T n=2Tmp-2∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)p-1Tn-(2p-2)m. Orm < n- (2p-2)m < 3m, donc d'apr`es la questiona), T n-(2p-2)m=2TmTn-(2p-1)m-Tjn-2pmjet par suite T n=2Tmp-1∑ k=0(-1)kTn-(2k+1)m+ (-1)pTjn-2pmj, ce qui donne le r´esultats puisque jn-2pmj< m=deg(Tm). II-B

Plus grand commun diviseur

II-B-1

Pgcd deUnetUm

- Posonsn+1=hn1etm+1=hm1. - Soitrune racine deUh-1, alors?k?[[0,h]]tel quer=cos?kπ h =cos?kn 1π n+1? =cos?km 1π m+1? doncrest une racine commune deUnet deUm. - R´eciproquement sirest une racine commune deUnet deUm, alors?(k,k?)?[[1,n]]×[[1,m]]tel quer=cos?kπ n+1? =cos?k?π m+1? , donckπ n+1=k?π m+1et par suitekm1=k?n1, orn1etm1 sont premiers entre eux, donc par le th´eor`eme de Gauss,n1divisek, ce qui entraine en posantk n 1=k?? quer=cos?k??π h c'est `a dire querest une racine deUh-1. - En conclut queUh-1est le pgcd deUnetUm. 2/ 5 Centrale-supelec 2014CorrigeII-B-2Pgcd deTnetTma) - Soitrune racine deTg, alors?k?[[0,g-1]]tel que r=cos?(2k+1)π 2g =cos?(2k+1)m1π 2m =cos?(2k+1)n1π 2n , or(2k+1)m1et(2k+1)n1 sont impairs, doncrest une racine commune deTnetTm. - R´eciproquement sirest une racine commune deTnetTm, alors?(k,k?)?[[0,n-1]]×[[0,m-1]] tel quer=cos?(2k+1)π 2n =cos?(2k?+1)π 2m , donc(2k+1)π 2n =(2k?+1)π 2m , c'est `a dire (2k?+1)n1= (2k+1)m1, orn1etm1sont premiers entre eux, doncn1divise2k+1et par suite si on pose 2k+1 n

1=n2qui est impair, on aurar=cos?n

2π 2g et l'imparit´e den2entraine quer est une racine deTg. - On conclut queTgest le pgcd deTnetTm. b ) - Soitrune racine commune deTnetTm, alors le raisonnement pr´ec´edent aboutit `a l'existence dek,k?tel que(2k?+1)n1= (2k+1)m1, doncn1etm1sont de mˆeme parit´e, ce qui exige par hypoth`ese quen1etm1sont pairs, ce qui contredit qu'ils sont premiers entre eux.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28