[PDF] Isométries dun espace euclidien - Jérôme Von Buhren - Free

Isométries dans un espace affine euclidien

néralités sur les isométries Un espace affine euclidien est muni d'une distance naturelle : d(x, 

Isométries dun espace euclidien - pyreachfreefr

té de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie vectorielle 2 Matrices orthogonales

Isométries dun espace euclidien - Jérôme Von Buhren - Free

ut le chapitre, on fixe un espace vectoriel euclidien E de dimension n ∈ N I - Matrices 

ISOMÉTRIES DE LESPACE AFFINE EUCLIDIEN DE - Free

n espace affine euclidien de dimension 3, de direction r E 1 Etude résumée des isométries 

ISOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

tion-théorème (Isométrie vectorielle/automorphisme orthogonal) Soient E un espace euclidien et f 

Isometries dun espace affine euclidien de - Agreg-Maths

– Cor : Une isométrie affine est bijective – Pro : L'ensemble Isom(E) des isométries 

Isométries vectorielles

lace sur un espace euclidien E ; c'est-à-dire que E est un espace vectoriel réel, de dimension 

Isométries dun espace affine euclidien de dimension finie

sification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible Il faut savoir prouver qu'une isométrie est 

135: isométries dun espace a ne euclidien de - Ceremade

135: isométries d'un espace a ne euclidien de dimension finie Formes réduites

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Chapitre 10 - Isométries d"un espace euclidien - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren -????CHAPITRE10

Isométries d"un espace euclidien

Plan du chapitreIM atricesor thogonales...........................................1 A -

Génér alités

B -

M atricesor thogonalespositiv eset néga tives

. .....................2 C -

Or ientationd el "espaceeucli dien

. .................................2 II

I sométriesv ectorielles

A -

Génér alités

B - I sométriesv ectoriellespositiv eset n égatives . .....................3 C -

L essymétr iesor thogonales

III

Cla ssificationd esiso métriesv ectorielles

. ......................4 A -

I sométriesv ectoriellesd "unp laneu clidien

. .......................4 B -

I sométriesv ectoriellese ndimens ion3

.............................5 IV Ré ductiondes mat ricess ymétriquesrée lles ....................6 V

M éthodes

A - É tudierune isométr iev ectorielleen dimen sion3 ..................7 B -

D iagonaliseru nemat ricesymétr iqueréel le

. ......................9 C -

É tudierune con ique

Ce chapitre est le prolongement du chapitre précédent sur les espaces préhilber- tiens. Nous allons étudier les endomorphismes d"un espace euclidien préservant la norme des vecteurs : les isométries. Nous nous intéresserons notamment à leur classification en petite dimension. Finalement, nous verrons un résultat important d"objets de nature géométrique : les coniques. Dans tout le chapitre, on fixe un espace vectoriel euclidienEde dimensionn2N. I -

M atricesor thogonales

I.A - Géné ralitésDéfinition(M atriceor thogonale): On dit qu"une matriceA2Mn(R) est ortho- gonale si elle vérifie la relationATAAEIn.Remarques 1 : a) L adéfinit ionr evientà dir eque l esc olonnes(ou le sl ignes)de Aforment une base orthonormée deRn. b)

P ardéfinit ion,une m atriceor thogonaleAest inversible et on aA¡1AEAT.Définition( Groupeor thogonald "ordren): Le groupe orthogonal d"ordrenest

l"ensemble des matrices orthogonales deMn(R). On le note On(R) ou O(n).Exemple 1 :Voici quelques exemples de matrices orthogonales

12 p2¡p2 p2 p2

2O2(R),13

0 @2 2 1

1¡2 2

2¡1¡21

A

2O3(R)

1/ 12

Chapitre 10 - Isométries d"un espace euclidien - Cours Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren -????Théorème1 : L"ensemble On(R) est un groupe, i.e.

(i)

La mat riceI

nappartient à On(R), (ii)

P ourtou tA2On(R), on aA¡12On(R),

(iii)

P ourt out( A,B)2On(R)2, on aAB2On(R).Proposition1 : SoitBune base orthonormée deE. Une baseCdeEest ortho-

normée si et seulement si la matrice de passagePCBest orthogonale.I.B -M atricesor thogonalesp ositiveset nég atives

Proposition

2

: SiA2On(R), alors det(A)AE§1.Définition(M atriceor thogonalep ositiveou nég ative): Une matrice orthogo-

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