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Corrige de Centrale 2016 PC math 1
I Autour de la fonction Gamma d'Euler
I.A.1)f(t) =tx1ett!01t
1xdoncZ
1 0 f(t)dtexiste si et seulement six >0.Puisque lim
x!+1tx+1et= 0,f(t) =t!+1o(1t2) doncZ
+1 1 f(t)dtexiste pour toutx.Le domaine de denition de est doncD=]0;+1[.
I.A.2) On integre par parties pourx >0: (x+ 1) = [ettx]+10+xZ +1 0 tx1etdt=x(x) puisque l'expression entre crochets a pour limite 0 en 0 et en +1. On en deduit par recurrence, pourn>1 etx >0: (x+n) = (x)n1Y k=0(x+k).Pourx= 1 on obtient avec (1) =Z
+1 0 etdt= 1, (n+ 1) =n! donc (n) = (n1)! pourn>1. I.A.3) Dans la premiere integrale on poset=u1=2(bijection de classeC1de ]0;+1[ dans lui-m^eme):Z+1 0 et2dt=Z +1 0 eu12 u1=2du=12 (1=2) = (3=2). Dans la seconde integrale on poset=u1=4(bijection de classeC1de ]0;+1[ dans lui-m^eme):Z+1 0 et4dt=Z +1 0 eu14 u3=4du=14 (1=4) = (5=4). I.B.1) Pourt >0 xe etxvariant entreaetb,exlntest compris entreealnteteblntdonctx6max(ta;tb)6ta+tb. I.B.2) Pourx >0 ett >0 posonsf(x;t) =tx1et= e(x1)lntt. On calcule@fk@x k(x;t) = (lnt)ktx1et.Pourx >0 xe:j(lnt)ktx1etj=t!+1o(1t
2) puisque limt!+1tx+1(lnt)ket= 0.
D'autre partj(lnt)ktx1etj t!0jlntjktx=21t
1x=2=t!0o(1t
1x=2) qui est integrable sur ]0;1] puisquex >0. On
en deduit quet7!@fk@x k(x;t) est integrable sur ]0;+1[. On peut maintenant appliquer le theoreme de derivation sous le signe integral: {Pour toutx2]0;+1[,t7!f(x;t) est continue et integrable sur ]0;+1[ {Pour toutt2]0;+1[,x7!f(x;t) est de classeC1sur ]0;+1[ {Pour toutx2]0;+1[ et pour toutk2N,t7!@fk@x k(x;t) est continue sur ]0;+1[ {Pour toutk2Net pour tout segment [a;b]]0;+1[ il existe'continue et integrable sur ]0;+1[ telle@fk@x k(x;t)6'(t): en appliquant le I.B.1 on peut prendre'(t) =@fk@x k(a;t)+@fk@x k(b;t).On en conclut pourx >0: (k)(x) =Z
+1 0 (lnt)ktx1etdt. I.C.1) Puisque (lnt)2>0 pourt6= 1, on a 00(x)>0 et donc 0est strictement croissante sur ]0;+1[. Avec (n) = (n1)! pourn2Non deduit que (1) = (2) = 1. On peut appliquer le theoreme de Rolle asur [1;2] puisqu'elle est de classeC1et que (1) = (2). On en deduit que 0s'annule sur ]1;2[, une seule fois
puisque0est strictement croissante. Il existe un uniquetel que 0() = 0 et sa partie entiere est egale a 1.
I.C.2) Pour 0< x < , 0(x)<0 donc est strictement decroissante. Pourx > , 0(x)>0 donc est strictement
croissante. De (x+ 1) =x(x) et de (1) = 1 on deduit par continuite de en 1 que (x)1x au voisinage de 0+et par suite a pour limite +1en 0+. Puisque est croissante pourx >2 et que (n) = (n1)! pourn2Non deduit que a pour limite +1en +1. 1 De (x+ 1) =x(x) on deduit 0(x+ 1) = (x) +x0(x). Par continuite de 0en 1 et avec l'equivalent obtenu pour (x) en 0+on deduit que 0(x) x!0+1x