Exercice 1 Calculer le moment statique et le moment d'inertie d'une section circulaire de diamètre d, par rapport aux deux axes vertical (y) et horizontal (x)
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Session de mise à niveau Août 2007 1/25 L.Bennoui-Abdou
CARACTERISTIQUES DES SECTIONS
PLANES
MOMENT STATIQUE D'UNE SECTION PLANE
Soient une aire plane S et une droite Δ. Le moment statique de la section S par rapport à Δ ()ΔSm est défini par l'intégrale :
S dSSm δ (dorénavant, on note le moment statique par rapport à Δ Δm). Les moments statiques par rapport aux axes x et y s'expriment par : Sx dSym et ∫∫= Sy dSxmRemarques :
1. Le moment statique est homogène à un volume. Il s'exprime en ...etc ,
33cmmm.
2. Le moment statique d'une section S par rapport à un axe quelconque passant par son
centre de gravité est nul.3. Le moment statique d'une section par rapport à un axe de symétrie est nul, puisque cet axe
passe par son centre de gravité.4. Sur la figure ci-dessus, on peut noter que :
dyy+=′. Par conséquent : dSmmxx?+=′ (cette expression est valable uniquement si les droites x et x' sont parallèles). Si l'axe x passe par le centre de gravités de S, le moment statique par rapport à x' est donné par : dSmx?=′. x y y x Δδ dS
d x' o y' S Session de mise à niveau Août 2007 2/25 L.Bennoui-AbdouΔ d
G G S dG G S ΔG dS r x y O SCENTRE DE GRAVITE D'UNE SECTION PLANE
La distance Gd du centre de gravité d'une
section plane S à une droiteΔ est définie par
la relation suivante : S mdGΔ=.
Cette relation permet aussi de calculer le
moment statique d'une section connaissant la position de son centre de gravité.MOMENT D'INERTIE, RAYON DE GIRATION D'UNE SECTION
PLANE Le moment d'inertie IΔ de la section S par rapport à Δ est défini par l'intégrale :SdSI2 δ.
Le rayon de giration de la section
S par rapport à Δ est donné par la relation : SIrPour les axes
x et y, nous avons : Sx dSyI 2, ∫∫= Sy dSxI 2, SIr x x= et SIr y y=.Théorème d'Huygens :
Le moment d'inertie IΔ d'une section S par
rapport à un axe quelconqueΔ, situé dans le
plan de cette section, est égal au moment d'inertieIΔG par rapport à l'axe ΔG, parallèle
Δ et passant par le centre de gravité G augmenté du produit de la grandeur de la surface par le carré de distance entre les deux axesΔ et ΔG :
2GGdSII?+=ΔΔ
MOMENT POLAIRE D'UNE SECTION PLANE
Le moment d'inertie polaire d'une section S
par rapport au point O est donné par l'intégrale : S dSrK2 ()yxSIIdSyxK+=+=∫∫
22.Session de mise à niveau Août 2007 3/25 L.Bennoui-Abdou
APPLICATION :
Énoncé
Soit une section carrée de largeur b et de hauteur h. On demande de calculer le moment statique et le moment d'inertie de cette section par rapport aux deux axes suivants : - Un axe vertical ( y) passant par le côté gauche de la section. - Un axe vertical ( yG) passant par le centre de gravité de la section.Solution
Calcul de ym et yI :
( )dxxydxxdyxdSm b hy y Sb h y∫∫∫ ∫ ∫ 00 0 0 222 02
0hbxhdxxhm
bx xb yDe même :
2 2bhm x=.Remarque :
Le choix de la position de l'axe x n'influe pas sur la valeur du moment statique. ( )dxyxdxdyxdSxI bhy y Sb h y∫∫∫ ∫ ∫ 002 0 022 333 03 0
2hbxhdxhxI
bx xb yDe même :
3 3bhI x=. Trouvons la position du centre de gravité par rapport à l'axe y : 2 2 2 b bh hb S mdy y===.Et par rapport à l'axe x :
2 2 2 h bh bh S mdx x===. h b y y G G b h y x Session de mise à niveau Août 2007 4/25 L.Bennoui-Abdou Calcul deGym et GyI :
( )dxxydxxdyxdSm b b hy hy Sb bh h yG∫∫∫ ∫ ∫
2 2 2 2222
2 04422
222
22
2 2 ∫bbhxhdxxhm bx bxb b y G ( )dxyxdxdyxdSxI b bhy hy Sb bh h y
G∫∫∫ ∫ ∫
2 22222
22
2 22
128833
333223
2 2
2hbbbhxhdxhxI
bx bxb b y G=))De même :
( )dyxydydxydSyI h hbx bx Sh hb b xG∫∫∫ ∫ ∫
2 22222
22
2 22
128833
333223
2 2