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MICHEL LE BELLAC

PRÉFACES DE

CLAUDE

COHEN-TANNOUDJI

ET DE FRANCK LALOË

ACTUELSSAVOIRS

PHYSIQUE

PHYSIQUE

QUANTIQUE FONDEMENTS - TOME I

3e ÉDITION

Michel Le Bellac

Physique quantique

Tome I : Fondements

3 eédition

SAVOIRS ACTUELS

EDP Sciences/CNRS Éditions

Illustration de couverture : Vue d"artiste du comportement d"un photon. On observe une transition continue depuis un comportement ondulatoire (arrière- plan du dessin) à un comportement corpusculaire (avant-plan du dessin). F. Kaiser, T. Coudreau, P. Milman, D. Ostrowsky and S. Tanzilli, Entangle- ment enabled delayed choice experiment, Science338, 637 (2012). Copyright : F. Kaiser et S. Tanzilli, CNRS. Courtoisie de Sébastien Tanzilli.

Imprimé en France.

c

2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabœuf,

91944 Les Ulis Cedex A

et

CNRS Éditions

, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque

procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l"autorisation

de l"éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d"une part, les

reproductions strictement réservées à l"usage privé du copiste et non destinées à une utili-

sation collective, et d"autre part, les courtes citations justiées par le caractère scientique ou d"information de l"œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être

réalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit

de copie, 3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

ISBNEDP Sciences 978-2-7598-0803-8

ISBNCNRS Éditions978-2-271-07736-3

Table des matières

Tome I : Fondements

A vant-proposxxi

Préface de la première éditionxxv

Préface de la troisième éditionxxvii

1 Introduction1

1.1 Structuredelamatière...................... 1

1.1.1 Échelles de longueur : de la cosmologie aux

particulesélémentaires ................. 1

1.1.2 Étatsdelamatière ................... 2

1.1.3 Constituantsélémentaires................ 6

1.1.4 Interactions (ou forces) fondamentales . . . . . . . . . 8

1.2 Physiqueclassiqueetphysiquequantique ........... 11

1.3 Unpeudhistoire......................... 14

1.3.1 Lerayonnementducorpsnoir ............. 14

1.3.2 Leetphotoélectrique ................. 18

1.4 Ondesetparticules:interférences................ 19

1.4.1 HypothèsededeBroglie ................ 19

1.4.2 Diraction et interférences avec des neutrons

froids........................... 20

1.4.3 Interprétation des expériences ............. 23

1.4.4 InégalitésdeHeisenbergI................ 27

1.4.5 Interféromètre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Niveauxdénergie......................... 33

1.5.1 Niveaux dénergie en mécanique classique et modèles

classiquesdelatome .................. 33

1.5.2 LatomedeBohr..................... 36

1.5.3 Ordres de grandeur en physique atomique . . . . . . . 38

1.6 Exercices ............................. 40

1.6.1 Ordresdegrandeur ................... 40

1.6.2 Lecorpsnoir....................... 41

1.6.3 InégalitésdeHeisenberg................. 42

ivPhysique quantique : Fondements

1.6.4 Diffiraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 42

1.6.5 Atomeshydrogénoïdes ................. 45

1.6.6 Interféromètreàneutronsetgravité.......... 45

1.6.7 Diffiusion cohérente et diffiusion incohérente

deneutronsparuncristal................ 46

1.7 Bibliographie ........................... 47

2 Mathématiques de la mécanique quantique I :

dimension "nie49

2.1 EspacesdeHilbertdedimensionfinie.............. 50

2.2 Opérateurs linéaires surH.................... 51

2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens,unitaires....... 51

2.2.2 ProjecteursetnotationdeDirac............ 53

2.3 Décomposition spectrale des opérateurs hermitiens . . . . . . 55

2.3.1 Diagonalisation d"un opérateur hermitien . . . . . . . 55

2.3.2 Diagonalisation d"une matrice2×2hermitienne . . . 57

2.3.3 Ensemble complet d"opérateurs compatibles . . . . . 59

2.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens . . . . 60

2.3.5 Fonctions d"un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . 62

2.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel . . . . . 62

2.4.2 Espaces de dimensiond=2.............. 64

2.5 Exercices ............................. 66

2.5.1 Produitscalaireetnorme................ 66

2.5.2 Commutateursettraces................. 66

2.5.3 Déterminantettrace .................. 67

2.5.4 Projecteur dansR3................... 67

2 .5.5 Théorèmedelaprojection ............... 67

2.5.6 Propriétésdesprojecteurs ............... 68

2.5.7 Intégralegaussienne................... 68

2.5.8 Commutateurs et valeur propre dégénérée . . . . . . . 68

2.5.9 Matricesnormales.................... 69

2.5.10 Matricespositives.................... 69

2.5.11 Identitésopératorielles ................. 69

2.5.12 Indépendance du produit tensoriel par rapport au choix

delabase......................... 70

2.5.13 Produit tensoriel de deux matrices2×2....... 70

2.5.14 Propriétés de symétrie de|?.............. 70

2.6 Bibliographie ........................... 70

3 Polarisation : photon et spin 1/273

3.1 Polarisation de la lumière et polarisation d"un photon . . . . 73

3.1.1 Polarisation d"une onde électromagnétique . . . . . . 73

3.1.2 Polarisation d"un photon . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.1.3 Cryptographiequantique................ 86

Table des matièresv

3.2 Spin1/2.............................. 91

3.2.1 Moment angulaire et moment magnétique

enphysiqueclassique .................. 91

3.2.2 Expérience de Stern-Gerlach et "ltres

deStern-Gerlach..................... 93

3.2.3 États de spin dorientation arbitraire . . . . . . . . . 96

3.2.4 Rotationdunspin1/2 ................. 98

3.2.5 Dynamique et évolution temporelle . . . . . . . . . . 104

3.3 Exercices ............................. 107

3.3.1 Polarisation elliptique et détermination

delapolarisation .................... 107

3.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 107

3.3.3 Polarisation circulaire et opérateur de rotation

pourlesphotons..................... 108

3.3.4 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 109

3.3.5 Expérience à choix retardé . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.3.6 Autressolutionsde(3.45)................ 110

3.3.7 Décomposition dune matrice2×2.......... 111

3.3.8 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 111

3.3.9 Tenseurijk....................... 112

3 .3.10 Mesures successives dun spin 1/2 . . . . . . . . . . . 112

3.3.11 Rotation de2dunspin1/2.............. 112

3.3.12 Diusion de neutrons par un cristal : noyaux

despin1/2........................ 113

3.4 Bibliographie ........................... 114

4 Postulats de la physique quantique115

4.1 Vecteurs détat etpropriétésphysiques............. 116

4.1.1 Principedesuperposition................ 116

4.1.2 Propriétésphysiquesetmesure............. 118

4.1.3 InégalitésdeHeisenbergII ............... 124

4.2 Évolutiontemporelle....................... 126

4.2.1 Équationdévolution .................. 126

4.2.2 Opérateurdévolution.................. 129

4.2.3 Étatsstationnaires.................... 131

4.2.4 InégalitédeHeisenbergtemporelle........... 133

4.3 Approximationsetmodélisation................. 139

4.4 Exercices ............................. 142

4.4.1 Dispersionetvecteurspropres ............. 142

4.4.2 Méthodevariationnelle ................. 142

4.4.3 Théorème de Feynman-Hellmann . . . . . . . . . . . 143

4.4.4 Évolution temporelle dun système à deux niveaux . . 143

4.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 144

viPhysique quantique : Fondements

4.4.6 L"énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 145

4.4.8 BornedeHelstrom.................... 147

4.4.9 RègledeBorngénéralisée................ 148

4.4.10 Le système des mésonsK neutres : évolution non

unitaire.......................... 149

4.5 Bibliographie ........................... 151

5 Systèmes à nombre de niveaux "ni153

5.1 Chimiequantiqueélémentaire.................. 153

5.1.1 Moléculed"éthylène................... 153

5.1.2 Moléculedebenzène................... 156

5.2 Résonance magnétique nucléaire (RMN) . . . . . . . . . . . . 160

5.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique . . . 161

5.2.2 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2.3 PrincipesdelaRMNetdel"IRM ........... 166

5.3 Lamoléculed"ammoniac..................... 169

5.3.1 La molécule d"ammoniac comme système à deux

niveaux.......................... 169

5.3.2 La molécule dans un champ électrique : le maser

àammoniac ....................... 171

5.3.3 Transitionshorsrésonance ............... 176

5.4 Atomeàdeuxniveaux...................... 179

5.4.1 Absorption et émission de photons . . . . . . . . . . . 179

5.4.2 Principesdulaser.................... 183

5.4.3 Franges de Ramsey et principe des horloges

atomiques ........................ 187

5.5 Exercices ............................. 191

5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres . . . . . . . . . 191

5.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde . . . . . 191

5.5.3 Lebutadiène....................... 192

5.5.4 Vecteurs propres du hamiltonien (5.22) . . . . . . . . 194

5.5.5 L"ion moléculaire H

+2.................. 194 5 .5.6 ComplémentssurlaRMN ............... 195

5.6 Bibliographie ........................... 195

6 Mathématiques de la mécanique quantique II : dimension

in"nie197

6.1 EspacesdeHilbert........................ 197

6.1.1 Définitions........................ 197

6.1.2 Réalisations d"espaces séparables et de dimensio

infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2 Opérateurs linéaires surH.................... 201

6.2.1 Domaine et norme d"un opérateur . . . . . . . . . . . 201

6.2.2 Conjugaisonhermitienne ................ 203

Table des matièresvii

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