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PanaMaths [1 - 5] Juin 2012

Soit C un cercle de centre O et de rayon R et soit A un point extérieur

à C.

Déterminer le lieu des centres des cercles tangents au cercle C et passant par le point A.

Analyse

Ne pas oublier qu'il existe deux types de tangence entre deux cercles ...

Résolution

Soit un cercle tangent au cercle C et passant par le point A. Nous notons le centre de ce cercle. Rappelons que lorsque deux cercles sont tangents, ils peuvent l'être extérieurement (la

distance entre les deux centres est égale à la somme des rayons) ou intérieurement (la distance

entre les deux centres est cette fois égale à la valeur absolue de la différence entre les rayons).

Dans ce deuxième cas, tous les points de l'un des cercles (sauf le points de tangence) se trouvent à l'intérieur de l'autre cercle.

Ici, le cercle

ne peut être à l'intérieur du cercle C car alors il ne pourrait passer par le point A, extérieur à C. On va donc distinguer deux cas, suivant que le cercle

C est tangent extérieurement ou

intérieurement au cercle . Les deux figures ci-après illustrent ces deux situations.

PanaMaths [2 - 5] Juin 2012

Figure 1. Les deux cercles sont tangents extérieurement. Figure 2. Les deux cercles sont tangents intérieurement.

PanaMaths [3 - 5] Juin 2012

Nous allons successivement étudier ces deux configurations.

Le cercle

C est tangent extérieurement au cercle .

La droite

O étant perpendiculaire à la tangente commune (cf. la figure ci-dessous), on a immédiatement : OAR

Réciproquement, si on a :

OAR alors il existe un unique point M du segment O tel que MA et OM R. C'est l'unique point d'intersection (s'il y en avait deux, on aurait OAR) des cercles et C qui sont donc bien tangents.

Le cercle

est tangent intérieurement au cercle C.

On a cette fois :

OAR

PanaMaths [4 - 5] Juin 2012

Réciproquement, si on a :

OAR alors il existe un unique point M de la droite O situé à droite de O tel que MA et OM R. C'est l'unique point d'intersection (s'il y en avait deux, on aurait OAR) des cercles et C qui sont donc bien tangents.

En définitive, le point

est le centre d'un cercle tangent au cercle C et passant par le point

A si, et seulement si :

OAR ou AOR

, soit : OAR On reconnaît immédiatement la définition bifocale de l'hyperbole de foyers O et A et de paramètre R

2a. Son excentricité s'obtient alors classiquement :

2AO

2Rcceaa

Résultat final

Le lieu des centres des cercles tangents au cercle O;RC et passant par le point A est l'hyperbole de foyers O et A et d'excentricité AO R e.

PanaMaths [5 - 5] Juin 2012

Complément

Ci-dessous, on a fait apparaître les deux branches de l'hyperbole (en vert) obtenue ainsi que deux cercles 1 et 2 de centres respectifs 1 et 2 situés sur chacune des branches de l'hyperbole afin d'illustrer les deux types de tangence.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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