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Droites remarquables dans un triangle DEFINITION La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu La hauteur issue d'un sommet 

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LES DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE

I. Les médiatrices

Définition : La médiatrice d"un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. (D) est la médiatrice du segment [AB] Propriété : La médiatrice d"un segment est la droite constituée de tous les points qui sont à égale distance des extrémités de ce segment. Si MA = MB alors M est sur la médiatrice de [AB] Réciproquement, si M est sur la médiatrice de [AB] alors MA = MB. Théorème : Les médiatrices des côtés d"un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

II. Les hauteurs

Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Sur la figure ci-contre, (AH) est la hauteur issue de A ou relative au côté [BC]. (CK) est la hauteur issue de C ou relative au côté [AB] Théorème : Les trois hauteurs d"un triangle sont concourantes. Leur point de concours est appelé l"orthocentre de ce triangle.

III. Les bissectrices

Définition : La bissectrice d"un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. Théorème : Les bissectrices des angles d"un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans ce triangle.

IV. Les médianes

Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Sur la figure ci-contre, (d) est la médiane issue de C ou relative au côté [AB].

Remarque

: on dit aussi que le segment [CI] est la médiane issue de C. Théorème : Les trois médianes d"un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité de ce triangle.

V. Les triangles particuliers

1. Le triangle isocèle

Propriété : Dans un triangle isocèle, la hauteur, la bissectrice et la médiane issue du sommet principal sont confondues avec la médiatrice du côté opposé.

2. Le triangle équilatéral

Propriété : Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, l"orthocentre, le centre du cercle inscrit et le centre de gravité sont confondus.

3. Le triangle rectangle

Théorème : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.

Conséquence

: Le centre du cercle circonscrit d"un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. Théorème : Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l"hypoténuse mesure la moitié de l"hypoténuse.

Sur la figure ci-contre,

[AO] est la médiane relative

à l"hypoténuse [BC], donc AO = BC

2 Théorème : Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l"un de ses côtés est un diamètre de cercle, alors ce triangle est rectangle. Théorème : Si dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors ce triangle est rectangle.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35