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Exercice 1 Équivalents de fonctions au voisinage de 0 Par un développement limité au voisinage de 0 montrer les équivalences suivantes : 1 sin(x) ∼0 x

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2 Donner un équivalent polynomial en 0 pour chacune des fonctions ci-dessous : a) sin x b) cosx c) tan x d) (1 + x)α − 1 e) arcsin x f) arctan x Exercice 2

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Savoir qu'une fonction f (x) tend vers ±∞ ou vers 0 lorsque x est voisin de x0 ne Exercice 2 Montrer que limx→0+ Exercice 4 Trouver les équivalents de 1

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Montrer que la suite (xn) est décroissante puis qu'elle converge vers un réel que l 'on déterminera 3 Déterminer un équivalent simple de (xn) Exercice 9 : [corrigé]

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x3 +1+ √ x2 + x Faire une étude locale au voisinage de +∞ en précisant la limite, les asymptotes éventuelles et la position de la courbe par rapport ` 

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(b) Déterminer des équivalents (les plus simples possibles ) quand x → 0 et quand x → +∞ pour les 3 fonctions suivantes : f : x → x + sin x; g : x → x − sin x;  

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Définition : Soient f et g deux fonctions de R dans R On dit que f et g sont équivalentes quand x tend vers a s'il existe une fonction h(x), définie sur un inter-

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Donner un équivalent de f en +∞ Exercice 13 Comparaison d'une fonction et de sa primitive Comparer les fonctions ex2 et ∫ x

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Exercice 1 Trouver une fonction équivalente de tan(x), puis de arctan(x)) en 0 Exercice 2 Donner des équivalents des fonctions suivantes, et calculer leur limite 

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IUT de Cachan -GMP 1reann´ee- 2005/2006Feuille d"exercices n o3Exercice 1 Donner des ´equivalents en 0 des fonctions suivantes : ?f

1(x) = ln(1 +x)sin2(x)?f

2(x) =x2(ex-1)?f

3(x) = (ex-1)⎷1 +x-ex+ 1?f

4(x) =1-cosx2x?f

5(x) =4?⎷1 +x-1?2x

2sinxExercice 2

Calculer les limites suivantes en utilisant des ´equivalents : ?lim x→0(1-cosx)2tanx(2x+x2)sin4x?lim x→0e

2x-2ex+ 1?

3⎷1 +x-1?

2?lim x→0? ex-1?? lnx+ ln? 1 +1x ??1-cosx?lim x→0?

14x-12x(eπx+ 1)?Exercice 3

On admet les ´equivalents suivants :x-sinx≂0x 36
,x-Arcsinx≂0-x36 etsinx-tanx≂0-x32 . Calculer les limites suivantes :?lim x→0xtan2xx-sinx?lim x→0x-Arcsinxx 3?lim x→02(tanx-sinx)x

3Exercice 4

Calculer les limites suivantes en utilisant des ´equivalents : ?lim x→12

2x2-3x+ 1?tan(πx)?lim

x→1x 32
-1⎷x

2-1?lim

x→+∞? x2-1x 2+ 1? x2 ?lim x→+∞? ?ln(x2+ 1)-?ln(x2-1)?Exercice 5 Donner les d´eveloppements limit´es suivants : ?DL

3(0) def1(x) = (cosx)⎷1 +x?DL

4(0) def2(x) = ln(1 +x)⎷1 +x?DL

3(0) def3(x) =3⎷1 +x1-x?DL

9(0) def(x) = Arctanx?DL

6(0) def5(x) = Arcsinx?DL

4(0) def6(x) =esinx?DL

4(0) def7(x) = ln?sinxx

??DL

4(0) def8(x) =1cosx?DL

3(0) def9(x) =xln(1 +x)?DL

4(0) def10(x) =ecosxExercice 6

Justifier les ´equivalents admis dans l"exercice 3.

Exercice 7

On consid`ere la fonction

f:]-1,1[→R,x?→f(x) =⎷1 +x1-x.?Donner leDL3(0) de la fonctionf.?En d´eduire l"´equation de la tangente au graphe defau point de cooordon´ees(0,f(0)) puis la position de la courbe par rapport `a sa tangente.Exercice 8

Soitf:]-1,+∞[→Rd´efinie par

f(x) =? ???x-ln(1 +x)x

2six?= 0

12

six= 0?Pourquoi la fonctionfest-elle continue en 0??Donner leDL2(0) def.?Que peut-on en d´eduire pour le graphe defau point (0,f(0))?Exercice 9

Soitf:]-1,+∞[→Rd´efinie par

f(x) =? ?Arctanxx(x+ 1)six?= 0

asix= 0?Que doit valoirapour que la fonctionfsoit continue en 0??Donner leDL2(0) def.?Que peut-on en d´eduire pour le graphe defau point (0,f(0))?Exercice 10

On consid`ere la fonction

f:R→R,x?→f(x) =x+?x

2+ 1.?Faire une ´etude locale au voisinage de-∞et de +∞en pr´ecisant les li-mites, les asymptotes ´eventuelles et la position de la courbe par rapport `a ses

asymptotes.

?D´eterminer l"´equation de la tangente au graphe defau point de cooordon´ees(0,f(0)) puis la position de la courbe par rapport `a sa tangente.Exercice 11

On consid`ere la fonction

f: [0,+∞[→R,x?→f(x) =3?x

3+ 1 +?x

2+x.Faire une ´etude locale au voisinage de +∞en pr´ecisant la limite, les asymptotes´eventuelles et la position de la courbe par rapport `a ses asymptotes.

Exercice 12

On consid`ere la fonction

f: [0,+∞[→R,x?→f(x) =3?x

3+ 2x+ 1.Faire une ´etude locale au voisinage de +∞en pr´ecisant la limite, les asymptotes´eventuelles et la position de la courbe par rapport `a ses asymptotes.

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