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Baccalauréat S Asie 20 juin 2012 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les

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Corrigéd?alauréatS A P M E P EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité PartieA:Déterminationd’unesimilitude directe 1 a On a: •zA =?1 2 +i p 3 2 =cos 2? 3 ¢ +isin ¡ 2?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte1point.

1.Dans l"espace rapporté à un repère orthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

, on considère la droiteDdont on donne une représentation paramétrique, et le planPdont on donne une équation cartésienne : D ?x=1-2t y=t z= -5-4t(t?R) etP: 3x+2y-z-5=0. Affirmation1: la droiteDest strictement parallèle au planP.

2.Dans l"espace rapporté à un repère orthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

, on considère le point A(1; 9; 0) et le planPd"équation cartésienne : 4x-y-z+3=0. Affirmation2: la distance du point A au planPest égale à? 3 2.

3.Soit la fonctionfdéfinie pour tout réelxpar :f(x)=3

1+e-2x.

On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan. Affirmation3:la courbeCadmet deux asymptotes parallèles àl"axe des abscisses.

4.Pour tout réelx, on poseF(x)=?

x 1 (2-t)e-tdt. Affirmation 4:F(x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réelxsupérieur

à 1.

5.On considère l"intégraleI=?

e 1 t2lntdt. Affirmation5: la valeur exacte de l"intégraleIest :2e3+1 9.

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan est muni d"un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

On noterla rotation de centre O et d"angleπ

On considère le point A, d"affixezA=-?

3+i, le point A1d"affixezA1=zAoùzAdésigne le

conjugué dezA.

On note enfin B image du point A

1par la rotationretzBl"affixe du point 8.

1. a.Écrire le nombre complexezAsous forme exponentielle, puis placer les points

A et A

1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b.Vérifier quezB=2e-2iπ

3sous forme exponentielle, puis écrire le nombre com-

plexezBsous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère.

2.On considère le vecteur unitaire-→w, tel que?-→u,-→w?

12, et la droiteΔpassant par

O et de vecteur directeur

-→w. a.Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Tracer la droiteΔ, puis démontrer queΔest la bissectrice de l"angle?--→OA ,--→OB?

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport àla droiteΔ.

3.On note B1le symétrique de B par rapport à l"axe?

O ;-→u?

et B?l"image de B1par la rotationr. Démontrer que B?= A.

4.Dans cette question, toute trace de recherche ou d"initiative, même non aboutie, sera

prise en compte dans l"évaluation.

Soit C le point d"affixe?

2(1+i) et D le symétrique de C par rapport à la droiteΔ.

Construire les points C et D, puis calculer l"affixe du point D

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité Le plan est muni d"un repère orthonormal direct?

O,-→u,-→v?

PartieA - Déterminationd"une similitude directe On considère les points A et B d"affixes respectives : z A=-1 2+i? 3

2etzB=-?3+i.

1. a.Écrire les nombres complexeszAetzBsous forme exponentielle.

b.Placerlespoints AetBdanslerepère.Onprendra1cmcommeunité graphique.

2. a.Déterminer l"écriture complexe de la similitude directefde centre 0 qui trans-

forme le point A en B. b.Préciser les éléments caractéristiques de la similitudef.

PartieB. Étude d"une transformation

Le but de cette partie est d"étudier la transformationg=s◦f, oùfdésigne la similitude définie dans la partie A etsla réflexion d"axe?

O ;-→u?

1.SoitMun point quelconque du plan. On désigne parM?l"image du pointMpar la

transformationg. On notezetz?les affixes respectives des pointsMetM?, et zcelle du conjugué de z. a.Démontrer l"égalité :z?=2e-iπ 6z. b.On pose C =g(A) et D =g(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure. c.Quelle est la nature du triangle OAC? d.Démontrer que les vecteurs--→OA et--→OD sont colinéaires.

2.Dans cette question, toute trace de recherche ou d"initiative, même non aboutie, sera

prise en compte dans l"évaluation. Déterminer la nature de la transformationg◦get préciser ses éléments géomé- triques.

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

Soitkun entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contientkboules noires et 3 boules blanches. Cesk+3 boules sont indiscer- nables au toucher. Une partie consiste àprélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

Asie220 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche; un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire; un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes; on dit dans ce cas là qu"il gagne la partie.

PartieA

Dans la partie A, on posek=7.

Ainsi l"urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1.Un joueur joue une partie. On notepla probabilité que le joueur gagne la partie,

c"est-à-dire la probabilité qu"il ail tiré deux boules de couleurs différentes.

Démontrer quep=0,42.

On noteXla variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, etpnla probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours desn parties. a.Expliquer pourquoi la variableXsuit une loi binomiale de paramètresnetp. b.Exprimerpnen fonction den, puis calculerp10en arrondissant au millième. c.Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99%.

PartieB

Dans la partie B, le nombrekest un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Un joueur joue une partie.

On noteYkla variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a.Justifier l"égalité :p(Yk=5)=6k

(k+3)2. b.Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoireYk

2.On note E(Yk)l"espérance mathématique de la variable aléatoireYk

On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l"espéranceE(Yk)est strictement positive. Déterminer les valeurs dekpour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

EXERCICE45 points

Commun à tous les candidats

1.On considère l"algorithme suivant :

Saisir un réel strictement positif non nula

EntréeSaisir un réel strictement positif non nulb(b>a)

Saisir un entier naturel non nulN

Affecter àula valeura

InitialisationAffecter àvla valeurb

Affecter ànla valeur 0

TANT QUEn
Affecter ànla valeurn+1

Affecter àula valeura+b2

TraitementAffecter àvla valeur?a2+b2
2
Affecter àala valeuru

Affecter àbla valeurv

SortieAfficheru, afficherv

Asie320 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme poura=4,b=9 etN=2. Les valeurs successives deuetvseront arrondies au millième. nabuv 049
1 2 Dans la suite,aetbsont deux réels tels que 0On considère les suites

(un)et(vn)définies par : u

0=a,v0=bet, pour tout entier natureln:

u n+1=un+vn

2etvn+1=?

u2n+v2n 2

2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un>0 et

v n>0. b.Démontrer que, pour tout entier natureln:v2n+1-u2n+1=?un-vn 2? 2. En déduire que, pour tout entier natureln, on aun?vn.

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EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Les cinq questions sont indépendantes.

1.Dans l"espace rapporté à un repère orthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

2.Dans l"espace rapporté à un repère orthonormal?

O,-→ı,-→?,-→k?

3.Soit la fonctionfdéfinie pour tout réelxpar :f(x)=3

1+e-2x.

4.Pour tout réelx, on poseF(x)=?

à 1.

5.On considère l"intégraleI=?

EXERCICE25 points

O,-→u,-→v?

On noterla rotation de centre O et d"angleπ

On considère le point A, d"affixezA=-?

3+i, le point A1d"affixezA1=zAoùzAdésigne le

On note enfin B image du point A

1par la rotationretzBl"affixe du point 8.

1. a.Écrire le nombre complexezAsous forme exponentielle, puis placer les points

A et A

1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

3sous forme exponentielle, puis écrire le nombre com-

2.On considère le vecteur unitaire-→w, tel que?-→u,-→w?

12, et la droiteΔpassant par

O et de vecteur directeur

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.On note B1le symétrique de B par rapport à l"axe?

O ;-→u?

4.Dans cette question, toute trace de recherche ou d"initiative, même non aboutie, sera

Soit C le point d"affixe?

2(1+i) et D le symétrique de C par rapport à la droiteΔ.

EXERCICE25 points

O,-→u,-→v?

2etzB=-?3+i.

1. a.Écrire les nombres complexeszAetzBsous forme exponentielle.

2. a.Déterminer l"écriture complexe de la similitude directefde centre 0 qui trans-

PartieB. Étude d"une transformation

O ;-→u?

1.SoitMun point quelconque du plan. On désigne parM?l"image du pointMpar la

2.Dans cette question, toute trace de recherche ou d"initiative, même non aboutie, sera

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

Asie220 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieA

Dans la partie A, on posek=7.

1.Un joueur joue une partie. On notepla probabilité que le joueur gagne la partie,

Démontrer quep=0,42.

PartieB

Un joueur joue une partie.

1. a.Justifier l"égalité :p(Yk=5)=6k

2.On note E(Yk)l"espérance mathématique de la variable aléatoireYk

EXERCICE45 points

Commun à tous les candidats

1.On considère l"algorithme suivant :

Saisir un réel strictement positif non nula

Saisir un entier naturel non nulN

Affecter àula valeura

InitialisationAffecter àvla valeurb

Affecter ànla valeur 0

Affecter ànla valeurn+1

Affecter àula valeura+b2

TraitementAffecter àvla valeur?a2+b2

Affecter àala valeuru

Affecter àbla valeurv

SortieAfficheru, afficherv

Asie320 juin 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

0=a,v0=bet, pour tout entier natureln:

2etvn+1=?

2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un>0 et

3. a.Démontrer que la suite(un)est croissante.

4.Démontrer que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

Asie420 juin 2012