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Exercice 36 points
Une chaîne, suspendue entre deux points d'accroche de même hauteur peut être modélisée par la représentation
graphique d'une fonctiongdéfinie sur [-1;1] par :g(x)=12a(eax+e-ax)oùaest un paramètre réel strictement
positif. On ne cherchera pas à étudier la fonctiong. On montre en sciences physiques que, pour que cette
chaîne ait une tension minimale aux extrémités, il faut et il suffit que le réelasoit une solution strictement
positive de l'équation :(x-1)e2x-1-x=0 Dans la suite, on définit sur [0;+∞[ la fonction fparf(x)=(x-1)e2x-1-x.1 . Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf.
Vérifier quef'(0)=-2et quelimx→+∞f'(x)= +∞.2 . On note
f''la fonction dérivée def'.Vérifier que, pour tout réel
x⩾0,f''(x)=4xe2x3 . Montrer que, sur l'intervalle [0 ; +∞[ la fonction
f's'annule pour une unique valeur, notéex0.4 .a. Déterminer le sens de variation de la fonction
fsur l'intervalle [0 ; +∞[, puis montrer quef(x)est négatif pour tout réelxappartenant à l'intervalle[0;x₀]. b. Calculerf(2). En déduire que sur l'intervalle [0 ; +∞[, la fonctionfs'annule pour une unique valeur.Si l'on noteacette valeur, déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur deaarrondie au centième.
5 . On admet sans démonstration que la longueur L de la chaîne est donnée par l'expression :
L=∫01
(eax+e-ax)dxCalculer la longueur de la chaîne ayant une tension minimale aux extrémités, en prenant 1,2 comme valeur
approchée de a.Correction :
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1 . f est dérivable sur [0 ; +∞[
f'(0)=(2×0-1)e0-1=-1-1=-2 f '(0)=2 limx→+∞ e2x= +∞ et limx→+∞ (2x-1)= +∞ donc limx→+∞ f'(x)=+∞2 . f ' est dérivable sur [0 ; +∞[
f''(x)=4xe2x3 . f ''(0)=0 et pour tout nombre réel strictement positif on a : f ''(x)>0 donc f ' est strictement croissante sur
[0;+∞[. f ' est continue est strictement croissante sur [0 ; +∞[ à valeurs dans [-2 ; +∞[.Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que 0∈[-0 ; +∞[ admet un unique antécédent
par f :x0∈[0 ; +∞[, c'est à dire que l'équation f '(x)=0 admet une unique solutionx0∈[0 ; +∞[.
Remarque :
f '(0)=-2 donc x0>0.4 .a. f ' est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc :
Si 0 f'(x)On donne les variations de
fsous la forme d'un tableau x0x0+∞ f'(x)-0+ f(x)-2 f(x0)f(0)=(0-1)e0-1=-2 fest strictement décroissante sur [0 ; x0] donc pour tout x∈[0 ; x0],f(x)⩽f(0)=-2fest strictement négative sur [0 ;
x0] en particulierf(x0)<0 b. f(2)=(2-1)e4-3>0 f(2) ≃51,6fest strictement négative sur [0 ; x0] donc l'équationf(x)=0n'admet pas de solution sur [0 ; x0].
fest continue et strictement croissante sur [x0; +∞[, f(x0)<0 et f(2)>0 donc 0 appartient à l'ensemble des valeurs defsur[ x0 ; +∞[.Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer que 0 admet un unique antécédentaparf
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appartenant à [x0;+∞[, c'est à dire que l'équationf(x)=0admet une unique solutionaappartenant à :
[x0; +∞[.Conclusion
L'équationf(x)=0admet une unique solution appartenant à [0 ; +∞[ . (cette solution a appartient à [x0;+∞[).