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Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 1/6 23/01/2012 - MODELISATION D'UN MECANISME -
LOIS ENTREE-SORTIE EN POSITION
ET EN VITESSE
LOIS ENTREE-SORTIE PAS FERMETURE GEOMETRIQUE
Exercice 1 : MICROMOTEUR DE MODÉLISME
Question 1 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du dispositif de transformation de mouvement.Paramètre d'entrée :
()xt (position linéaire du piston 3 par rapport au bâti 0)Paramètre de sortie :
()t (position angulaire du vilebrequin 1 par rapport au bâti 0) Question 2 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position
()xf du dispositif de transformation de mouvement.Fermeture géométrique :
0OO OA AB BO
GDonc :
1200ex Lx xx
Or100200
cos sin cos sinxxyetx xy L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :En projection sur
0 .cos .cos 0 (1)xe L XEn projection sur
0 .sin .sin 0 (2)ye LOn cherche une loi entrée-sortie de type
()xf, il faut donc éliminer (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : - isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; - on élève au carré ; - on utilise la relation de trigonométrie 22cos sin 1 .
Ce qui nous donne dans notre cas :
(1) cos cos (2) .sin .sinLXe Le222222 222
(1) (2) cos .sin ( cos ) .sinLLXeeDonc :
222 2 222
.sin ( cos ) .sin ( cos )Le Xe Le Xe ( car Le)Ce qui nous donne :
222cos .sinXe L e (car 0X est toujours )
Question 3 : Retrouver ce résultat à l'aide du théorème d'Al-Kashi (Pythagore généralisé).
Théorème d'Al-Kashi :
Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1ère
année Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 2/623/01/2012
22 22cosLeX eX
22202cosXeX e L
22 224cos4( )0eeL ( car Le)
Donc :
22 222cos 4 cos 4( )
2ee eLX
22 22cos cos ( )Xe e e L (car 0X est toujours ) Or :
2 2 22 2 2 2 222
cos sin cos sineeeeeeDonc :
2 cosXe e 22 2sin (ee 2222
)cos .sinLXe Le
On retrouve bien la même loi entrée-sortie.
Question 4 : Déterminer la cylindrée du micromoteur. 22 31, 2 2, 2 9, 9 5
piston pistonCyl S c R c cm
Question 5 : Déterminer, à l'aide du résultat de la question Q2, la loi entrée-sortie en vitesse
(,)xf . En déduire le vecteur vitesse 3/0B V en fonction de ,,Lete.En dérivant la loi entrée- sortie en position, on obtient une loi entrée-sortie en vitesse :
2 2222cossin(sin )
2.sine
Xe LeRappel :
1 nn unuuOr on sait que
3/0 0B
VXxDonc :
2 3/0 0 222cos sin(sin ) .sin B eVe x Le
Exercice 2 : POMPE À PALETTES
Question 1 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système. 3 12 Pivot d'axe
)z,O( 12Glissière de
direction 2 x Linéaire rectiligne de ligne de contact )z,E( 1 et de normale ? Question 2 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système. Paramètre d'entrée : position angulaire du barillet 2 par rapport au corps 1 : Paramètre de sortie : position linéaire de la palette 3 par rapport au barillet 2 : Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1ère
année Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Page 3/623/01/2012
Question 3 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position
()f de la pompe à palettes.Par fermeture géométrique :
12 2 1
0OO O D DE EO
0EOx.y.dx.e
1221or on sait que REO 1 Donc
122 1 2 2 22
... .(cos.sin.)..ex dy x EO R e x y dy x RR)dsin.e()cos.e(
22222
( .cos ) ( .sin )eedR 22
( .cos ) ( .sin )eRed ()ed R 22
.cos ( .sin )eRed
Donc :
22.cos ( .sin )eRed car 0
Question 4 : Donner, sans calcul, la trajectoire
/1ETdu point géométrique de contact.
On a :
REO 1 La trajectoire du point E dans le repère R1 est le cercle de centre 1O et de rayon R.
Question 5 : Déterminer l'expression des vecteurs rotation 2/1 3/2 et 3/1 2/1 1 .z 3/2 0 et3/1 3/2 2/1 1
.zQuestion 6 : Déterminer le vecteur vitesse
3 3/1G V 33 33/1 3/2 2/1GGG
VVVAvec :
33/2 2G
Vx Et 322/1 2/1 3 2 2/1 2 2 1 2 2
0 2 '2/1 GOVVGO bxdyzbydx
car O est sur l axederotation du MvtDonc :
33/1 2 2
G Vdxby Question 7 : En déduire le vecteur accélération 3 3/1G 3 3 223/13/1 1 1 22
222
11 G G ddx bydV dt dt dx dy dx d y by bdt dt Or
22/12 12 2
1 dx xzx ydt et22/12 12 2
1 dy yzy xdtJJJJJGJJG JJGJJG JJG
Donc :
3223/1 2 2
()() 2 () G dbx d by 2 y 2 x z D 1 x 1 y Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1ère
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Exercice 3 : COMPACTEUR
Question 1 : Repasser en couleur les différents solides sur le schéma cinématique. Question 2 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système.Question 3 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système d'orientation
des cylindres.Paramètre d'entrée :
()kt (position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin)Paramètre de sortie :
()t (position angulaire du ½ bâti avant par rapport au ½ bâti arrière)Question 4 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position
()kfdu système d'orientation des cylindres.Fermeture géométrique :
0PP PQ QR RP
GDonc :
00 00 0 vav av ar ar dx ey kv gy fx G Or0000 00 00
cos sin , sin cos sin cos vav ar ar av ar ar ar ar xxyy xyetvxy Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1ère
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L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :En projection sur
0 .cos sin sin 0 (1) ar xd e k fEn projection sur
0 sin cos cos 0 (2) ar yd e k gOn cherche une loi entrée-sortie de type
()kf, il faut donc éliminer (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; on élève au carré ; on utilise la relation de trigonométrie 22cos sin 1 .
Ce qui nous donne dans notre cas :
(1) sin .cos sin (2) cos sin coskdef kgde222 2 2
(1) (2) ( .cos sin ) ( sin cos )kd e f gd eCe qui nous donne :
22( .cos sin ) ( sin cos )kd e f gd e Question 5 : En déduire la course minimale c du vérin d'articulation permettant d'obtenir le comportement souhaité du compacteur en virage.
La course du vérin doit être à la distance parcourue par la tige par rapport au corps du vérin
pour faire passer le ½ bâti avant d'un position angulaire extrême par rapport au ½ bâti arrière
(Ø = +32° ou -32° ) à une autre (Ø = -32° ou 32° ).Donc :
Course du vérin
(32)(32)ck k avec (32) (32) (476,98)² (386,53)² (349,69)² (269,94)²k k Pour garantir un angle Ø compris entre -32° et + 32°, il faut :613,85 441,76 172,09cmm
Exercice 4 : SYSTÈME D'ORIENTATION D'ANTENNE
Question 1 : Réaliser, en s'inspirant de la figure ci-dessus, le schéma cinématique du système
d'orientation d'antenne dans le plan 00 (, , )Ox y . Paramétrer ce schéma cinématique. Question 2 : Donner le paramètre d'entrée et le paramètre de sortie du système.Paramètre d'entrée :
()dt (position linéaire de la tige du vérin par rapport corps du vérin)Paramètre de sortie :
1 ()t (position angulaire de l'antenne par rapport au support) Corrigé TD 16 - Lois entrée-sortie en position et en vitesse CPGE 1ère
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Question 3 : Déterminer, à l'aide d'une fermeture géométrique, la loi entrée-sortie en position
1 ()df du système d'orientation d'antenne.Fermeture géométrique :
0AA AB BC CA
GDonc :
11 2 0 0
0Lx dy Lx
Or110102 2020
cos sin sin cosxxyety x y L'équation vectorielle obtenue par fermeture géométrique permet d'obtenir les équations scalaires suivantes :En projection sur
01 1 20
.cos sin 0 (1)xL d LEn projection sur
01 1 2
.sin cos 0 (2)yL dOn cherche une loi entrée-sortie de type
1 ()df, il faut donc éliminer 2 (paramètre intermédiaire) de ces deux relations... Pour cela, à partir des deux relations obtenues, on : isole les cosinus et sinus du paramètre angulaire dont on veut se débarrasser ; on élève au carré ; on utilise la relation de trigonométrie 22cos sin 1 .quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28