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Polytech Lyon

M2 Statistique des processus

TP 2 Processus de Poisson, chaînes à temps continu

Processus de Poisson

Exercice 1. Paradoxe de l"autobus

Vérifier expérimentalement le paradoxe de l"autobus.

Exercice 2. Processus de Poisson dans le plan

1. Simuler un processus de Poisson 2-dimensionnel d"intensité= 100dans le carré[0;1][0;1].

2. SoientD1etD2les sous-ensembles disjoints définis comme suit :D1est le disque de centre(0:2;0:6)

et de rayon0:2, etD2est le triangle défini pary6x. SoientN1;N2les nombres de points du processus dansD1;D2. Que prédit la théorie? Vérifier queN1etN2sont non corrélés.

3. Comparer avec le cas où l"on tire 100 points i.i.d. de loi uniforme dans le carré[0;1][0;1]. S"attend-

on à ce queN1etN2soient positivement ou négativement corrélés?

Exercice 3. Droites aléatoires

On propose de tirer au hasard une famille de droites dans le plan. On représente pour cela toute droite

Dpar son équation normalexcos+ysinp= 0, où2[0;2[est l"angle polaire de la normale àDet

p >0la distance de d"origne àD. On suppose que les points(p;)associés à la famille de droites aléatoires

constituent une réalisation d"un processus de Poisson d"intensité constante1sur[0;+1[[0;2].

1. Représenter l"intersection du carré[A;A]2, oùAest un réel donné, avec les droites de ce processus.

2. Soit(x0;y0)un point quelconque deR2. Vérifier que les distances de ces droites à(x0;y0)constituent

une réalisation d"un processus de Poisson2.

Exercice 4.

Soit(Xn)n2Zune suite (indexée parZ) de variables aléatoires independantes, avecXnN(n;2).

On note, pourt>0,

N t= #fn2Z:Xn2[0;t]g:

Déterminer expérimentalement s"il est vrai que le processus(Nt)t>0converge vers un processus de Poisson

lorsquetend vers l"infini.

Exercice 5. Intensité variable

Soit:R+!R+une fonction continue. Ecrire un programme qui produit une simulation d"un processus de Poisson d"intensité variable(t). On étudiera en particulier les fonctions

1.(t) =t,

2.(t) = 1 + sin(t).

Chaînes de Markov à temps continu

Exercice 6.Écrire une fonctionmarkov(n,L,x0)qui renvoie lesnpremiers états visités par une chaîne

de Markov à temps continu de générateurLet d"état initialx0, ainsi que les temps de séjour, à l"aide de

la représentation par horloges exponentielles.

Exercice 7.A l"aide de la fonction définie à l"exercice précédant, tracer le graphe de(Xt)t>0, chaîne de

Markov à temps continu de générateur

L=0 @2 1 1 0 2 131 A (1) 1 avec les choix= 1;= 10;= 1=10qui permettront de comparer visuellement les temps de séjour dans l"état2.

Exercice 8.Vérifier numériquement que la proportion du temps passée dans chacun des états est donnée

par la mesure de probabilité invariante dans le cas de la matriceLdonnée par (1). 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35