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Files d"attente
Dr Stephan Robert, HEIG-Vd
3 juin 2016
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 1/1
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 2/1
Introduction
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 3/1
Introduction
Représentation d"unefile d"attentesimpleDiagramme temporelDr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 4/1
Introduction (2)
Question: Quelle est la relation entre letemps d"attente moyen et lenombre de clientsdans le système?^ Tt=P (t) i=0ui(t)Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 5/1Introduction (3)
Nombre moyen de clientsdans la file d"attente :
Nt=R t0N()dt
=P (t) i=0uit ce qui signifie^Nt=^t^TtSi le système est ergodique, nous obtenons la
LOI DE LITTLE :E[N] =E[T]Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 6/1Notation
Fonctions de répartition
IInterarrivées :A(t)
ITemps de service :B(x)
Caractérisation d"une file d"attente (Notation de Kendall)A/B/s/K/DSExemples: M/M/1, G/G/3/K
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 7/1
Exercice 1
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 8/1
Files d"attente élémentaires
Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 9/1
Files d"attente élémentaires
Généralités
ITemps d"interarrivées:E[T] =1=
I :Taux d"arrivées moyen. ITemps de service:E[S] =1=
I :Taux de service moyen par serveur. I N(t): Nombre de clients dans le système au tempst.Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 10/1File M/M/1
Représentation de la file d"attente M/M/1 (Processus de naissance et de mort) :avec les paramètres suivants : k=k=0;1;2;3;::: k=k=1;2;3;:::Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 11/1File M/M/1 (2)
Remarques:
I Les interarrivées sont distribuées exponentiellement (E[T] =1=) I Les temps de service sont distribués exponentiellement (E[S] =1=) I La file ne comporte qu"un serveur et est de longueur infinie IDiscipline de service : FIFO.
IIntensité du trafic:==
I La chaîne de Markov est ergodique si <1Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 12/1File M/M/1 (3)
Probabilité d"état0(voir le cours) :
i=0 i =0i0=11+P1
i=1 i mais0=11+=1=
Ainsi0=1Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 13/1
File M/M/1 (3)
Caractéristiques de la file M/M/1
I Espérance mathématique du nombre de clients dans la fileE[N] =1X
i=0ip i= (1)1X i=0ii=:::=1Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 14/1File M/M/1 (3)
Caractéristiques de la file M/M/1 (suite)
IAvec la formule de Little :
E[T] =E[N]
=1(1) I Variance du nombre de clients en fonction de l"intensité du trafic :2N=(1)2Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 15/1
Exemple : Serveur de bases de données
Une entreprise effectue des mesures sur son serveur de base de donnée : I taux moyen d"arrivées : 30 requêtes/seconde I temps moyen de service : 20 ms Question: A partir de quelle charge faut-il augmenter la vitesse du processeur pour maintenir unservice de même qualité? Si la firme augmente la charge du serveur de 40% par exemple, de combien doit augmenter la vitesse du processeur?Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 16/1
Serveur de bases de données (2)
Réponse :Modèle : M/M/1.
I Taux de traitement de requêtes :=120:103=50 requêtes/seconde ITaux d"utilisation du serveur :===30=50=0:6=60%
I Temps de traitement (à garder constant!) :E[T] =1=1=1=5010:6=50 msLe nombre de requêtes s"accroît de 40% :
I0=30+300:4=42
I0=0==42=50=0:84=84%
Si nous voulons queE[T] =50 ms=1=010,0=62 requêtes/seconde. Donc leprocesseur devraaugmenter sa vitessede(6250)=50=0:24=24%Dr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 17/1
File M/M/1/K
Différence avec la file M/M/1 : Limitation du nombre de places dans lesystème (serveur + tampon).Nous connaissons les probabilités d"état en fonction de0(processus de
naissance et de mort) : k=0k1Y i=0 =0 k pourkKDr Stephan Robert, HEIG-VdFiles d"attente 18/1