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Chapitre8

ChašnesdeMarkov

8.1Lamatricedetransition

auxprobl`emespos´es.

Voicilad´e“nition:

secondmembrede(8.1)ned´ependpasden. 203

204CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

LamatriceP={pij}i,jE,o`u

p ij=P(Xn+1=j|Xn=i) dun´etatversunautre´etat,ona p ij0,et kEp ik=1 estappel´eematricestochastique.

C=ABestlamatrice{cij}i,jE,o`ucij=

kEaikbkj.Lanotationx={xi}iE kExkaki. kEaikzk. =P(Xn+1=j1,...,Xn+k=jk|Xn=i)(8.2)

P(AB|Xn=i)=P(A|Xn=i)P(B|Xn=i).

du:

VoircependantlExercice8.5.1.

deladirectiondutemps.

8.1.LAMATRICEDETRANSITION205

Ladistributiondunecmh

n(i)=P(Xn=i).

Lar`egledescausestotalesdonnen+1(j)=

iEn(i)pij,cest-`a-dire,sousformema-

Tn=T0Pn.(8.3)

autreque p ij(n)=P(Xn+m=j|Xm=i). i

1,...,inŠ1Ep

ii1pi1i2···pinŠ1j,

P(X0=i0,X1=i1,...,Xk=ik)

etdonc,danslecasdunecmh, probabilit´edelacmh.Donc: noteraPµ(A)=

206CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

R´ecurrencesmarkoviennes

blancŽ.Pluspr´ecis´ement,

L´equationder´ecurrence

X n+1=f(Xn,Zn+1)(8.5) d´e“nitalorsunecmh. i

Explicitement:

p ij=P(f(i,Z1)=j).(8.6)

P(Zn=+1)=p,

X n+1=Xn+Zn+1

8.1.LAMATRICEDETRANSITION207

301
0 0 011 1 012 a

10011110

30111111010

33
b 3011
212
1 21
21
21
21
212
2 c

Unautomatestochastique

a initial0)

0100123100123123010.

seulementdanscettecirconstance.

208CHAPITRE8.CHAINESDEMARKOV

commedansleTh´eor`eme8.1.3. X n+1=jsijŠ1 k=0p

Xnk k=0p Xnk, plusieursreprises. consid´erablementlaport´ee. =P(Zn+1=k|Xn=i), p ij=P(f(i,Z1)=j|X0=i).

D´emonstration.Exercice8.5.3.

8.1.LAMATRICEDETRANSITION209

N,soiti+1(ellefut

N. X n+1=Xn+Zn+1, o`uZn{Š1,+1}etP(Zn+1=Š1|Xn=i)=i

N.Lestermesnonnulsdelamatrice

detransitionsontdonc p i,i+1=NŠi

N,pi,iŠ1=iN.

Analyse`aunpas

ensembled´etatsAferm´e( jApij=1pourtoutiA)etlestempsmoyensavant Xquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3