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Université Paul Sabatier (Toulouse 3) Magistère Économiste Statisticien
M1 - Processus Année 2011-2012
Corrigé de l"examen du 26 avril 2012(durée 2h) Tous documents interdits. Soyez concis, mais justifiez scrupuleusement ce que vous faites.Les trois parties sont indépendantes.
Exercice 1 :On considère une chaîne de Markov(Xn)n0surf1;:::;7gde matrice de transitionQ donnée par Q=0 BBBBBBBB@1=2 1=4 0 1=4 0 0 0
1=2 0 0 0 0 0 1=2
0 0 1=8 0 7=8 0 0
1=4 0 0 0 0 0 3=4
0 1=9 7=9 0 0 1=9 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 01
CCCCCCCCA
a)Dessiner le graphe de la c haînede Mark ovasso ciéeen précisan tle sprobabilit ésde transitions
entre les différents états. b) Détermi nerles classes d"états récurren tset transitoires. c)La c haîneest-elle irréductible ?
d)Calcu lerP3(X2= 6)etP1(X2= 7).
Solution de l"exercice1.
a) Graphe :12534761/4
1/21/97/9
1=41=21=43=41/9
17/81/21/8
1b) On déduit du graphe qu"il y a deux classes récurrentes :f1;2;4;7getf6g, et une classe transiente :
f3;5g. c) Non, sinon elle n"admettrait qu"une seule classe. d) Par la formulePx(X2=y) =Q2(x;y) =P zQ(x;z)Q(z;y), on obtient P3(X2= 6) =Q(3;5)Q(5;6) =78
19 =772 ;et P1(X2= 7) =Q(1;2)Q(2;7) +Q(1;4)Q(4;7) =14
12 +14 34=516 1 Exercice 2 :On définit une suite de variables aléatoires(Sn)n0par S
0=x >0p.s.;et pourn1,Sn=Sn1+"nSn1;
où("n)n1est une suite de v.a. indépendantes et identiquement distribuées de loi12 1+121, et où
est un réel tel quejj<1. Soit(Fn)n0la filtration naturelle de(Sn)n0,i.e.Fn=(S0;:::;Sn), pour toutn0. a)Mon trerque (Sn)n0est une(Fn)n0-martingale.
b) Mon trer(par récurrenc e)que p ourtout n0,Sn>0. c) En déduire qu e(Sn)n0converge p.s., quandntend vers+1. d) On p ose,p ourtout n0,Zn= logSn:Montrer queZn=Zn1+ log(1 +"n). e)En déduire qu e
Z n= logx+nX k=1log(1 +"k): f)Calc ulerE(log(1 +"1)), et montrer que
Z nn p.s.!n!112 log(12): g)En déduire a lorsque Snconverge p.s. quandntend vers l"infini, vers une limite à déterminer.