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19 jui 2017 · Théorème 1 : Les solutions de l'équation différentielle y′ + a0y = b On préfère écrire en physique l'équation de premier ordre sous la forme :
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De cette façon, si y1(t) et y2(t) sont deux solutions, alors y1(t)+y2(t) est aussi solution En physique, on ne s'intéressera qu'à des équations différentielles linéaires
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Recherche de la solution générale de l'équation homogène (ou équation différentielle sans second membre) En physique, on dit que l'on recherche le régime
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cadre de leur résolution Ce chapitre est accessible en ligne à l'adresse : https: · // femto-physique fr/mecanique/equations-differentielles php A 1 Équation
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Équations différentielles: Comment résoudre les équations différentielles ( premier ordre, deuxième ordre, pas de second membre, second membre constant,
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Résoudre cette équation différentielle en prenant comme condi- tion initiale u(0) = 0 Exercice 1 2 : Équation du premier ordre avec second membre • Analyse de l
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Les équations différentielles homogènes décrivent le régime libre d'un système Système du premier ordre Équation différentielle Solution générale dy dx +ay(x)
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1 Résolution d'équations différentielles du 1er ordre Nous chercherons généralement en physique des solutions réelles `a ses équations c'est-`a-dire :
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La résolution d'une telle équation est alors un peu complexe, mais on se nous ne rencontrerons en physique cette année que des équations différentielles
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Formulaire pour les équations différentielles. O.KELLER - TSI1 Page 1 sur 2 Lycée Louis Vincent Metz Les équations différentielles en physique Uneéquati ondifférentielle,estune équationliantlesdifférentesdérivéesd'une fonctiony. Enphysique,ons'intéresseratoutparticulièrementauxdérivéestemporelles(dy/dt).Uneéquationdifférentielleestditedu"premierordre»siellenecontientqueladérivéepremièredey(y').Elleestditedu"secondordre»siellecontientladérivéesecondedey(y"),etainsidesuite.Uneéquationdifférentielleestditeàcoefficientsconstantssilescoefficientsdevantyetsesdérivéessontconstants(indépendantsdutemps).Uneéquationdifférentiellelinéairenefaitinterveniryetsesdérivéesqu'àlapuissanceun.Decettefaçon,siy1(t)et y2(t)so ntdeuxsoluti ons,al orsy1(t)+y2(t)es taussis olution.Enphysique,onnes'intéresseraqu'àdeséquationsdifférentielleslinéairesàcoefficientsconstants.Equationdupremierordre.Laform ecanonique(form e"standard»uti liséeenphysique)d'uneéquationdifférentielledupremierordreest:dydt+yτ=Bτ(Delaformey'+ay=benmaths)avecτ,untempscaractéristique,etB/τ,unsecondmembrequelconque.Résolution:Pourtrouverlasolutiony(t)d'unetelleéquation,ilfautprocéderendeuxétapes.-Onrésoutl'équationhomogène,c'estl'équationsanssecondmembre:dydt+yτ=0.LessolutionssontdelaformeyHt()=Aexp-tτ⎛⎝⎜⎞⎠⎟oùAestuneconstantequel'ondétermineraaveclesconditionsinitiales.-Onchercheunesolutionparticulièredel'équationavecsecondmembre.Lasolutionparticulièrealamêmeformequelesecondmembre.Ainsi,siBestuneconstante,alorsonchercheunesolutionparticulièreyPconstante:yP=Bconvient.Bcorrespondaurégimepermanentouàlapositiond'équilibre.-Lasolutiongénéraledel'équationdifférentielleestlasommeestalors:yt()=yHt()+yP=Aexp-tτ⎛⎝⎜⎞⎠⎟+B.-OndétermineAenutilisantlesconditionsinitiales:yt=0()=A+B.EquationsdifférentiellesdudeuxièmeordreLaformecanoniqued'uneéquationdifférentielledudeuxièmeordreest:d2ydt2+ω0Qdydt+ω02y=ω02yeq(Delaformeay"+by'+cy=denmaths)avecQ,lefacteurdequalité,ω0lapulsationpropreetyeq,unsecondmembrequelconque.
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