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du second degré à deux inconnues Nouvelles annales En prenant pour inconnues x-\-y, eto? pour que l'équation générale du second degré représente le

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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré

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Si c'est un polynôme du second degré, je déterminer les racines et j'applique la r` egle du signe Les trois premi`eres sont des équations bicarrées, c'est `a dire que l'inconnue est `a la 49 > 0, donc l'équation admet deux solutions réelles :

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On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x) = ax2 + bx+c Résolution dans R de l'équation x2 +2x−3 = 0 : Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui Méthode générale : Pour résoudre ce genre d'équations, on utilise un changement d' inconnue :

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Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un terme

puis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P

1(x)=x2+2x+118

=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P

2(x)=2

x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916

Cela donne :

=2 x 2+32 x+916 916
7! =2266664 x+34 2 916

7377775

=2266664 x+34 2 12116
3

77775forme canonique deP2(x)

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 114

2377775

=2 x+34 114
x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P

1(x)=x24x+5

on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3

Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+c

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.

Cela donne :

=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775
=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Théorème 1 :

La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x)=a266664

x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax

2+bx+c=0Définition 3 :

On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a

266664

x+b2a! 2 4a23

77775=0

Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

x+b2ap

2a=0oux+b2a+p

2a=0

On obtient alors :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p

2a=3+114

=2 x 00=bp

2a=3114

=72

On conclut par :

S=( 72
;2)

2.3Lediscriminantestnul

Comme le discriminantest nul, la forme canonique correspond à un carré parfait. Elle se factorise en : a x+b2a! 2 =0

On obtient alors qu"une seule solution :

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

Exemple : Résoudre dansR:3x218x+27=0

On calcule:

=b24ac =1824327 =324324 =0 Commeest nul, il n"existe qu"une seule solutionx0: x

0=b2a=186

On conclut par :

S=f3g

2.4Lediscriminantestnégatif

Comme le discriminantest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.Exemple : Résoudre dansR:x2+4x5=0

On calcule:

=b24ac =424(1)(5) =1620 =4 Commeest négatif, il n"y a pas de solution. On conclut par : S=?

2.5Conclusion

Théorème 2 :

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant =b24ac. 1.

Si >0il existe deux racines :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2a 2. Si =0il n"existe qu"une racine (appelée racine double) - : x 0=b2a 3. Si <0il n"existe aucune racinePaul Milan 6 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

desracines

3.1Factorisationdutrinôme

Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

En remplaçant par les racinesx0etx00, nous avons alors : a(xx0)(xx00) De même si le discriminant est nul. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a x+b2a! 2 =0 En remplaçant par la racinex0=b2a, nous avons alors : a(xx0)2Exemples : 1.

Factoriser le trinôme suivant : P(x)=2x2+3x14

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les racines de ce trinôme sont :72 et2, donc :

P(x)=2

x+72 x2) Nous retrouvons le résultat que nous avons démontré avec la forme canonique. 2.

Factoriser le trinôme suivant : Q(x)=3x218x+27

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que la racine de ce trinôme est3, donc :

Q(x)=3(x3)2Théorème 3 :

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet deux racinesx0etx00, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)(xx00)

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet une racinex0, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)2

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cn"admet pas de racine, il ne peut se factoriserPaul Milan 7 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

3.2Sommeetproduitdesracines

Soit le trinômef(x)=ax2+bx+c. Nous nous plaçons dans le cas où le discrimenant est positif. Il y a donc deux racinesx0etx00. Le trinôme peut alors se factoriser en : f(x)=a(xx0)(xx00)

Developpons :

f(x)=a(x2x00xx0x+x0x00) =ahx2x0+x00x+x0x00i =ax2a(x0+x00)x+ax0x00

On poseS=x0+x00etP=x0x00, on a alors

f(x)=ax2aS x+aP En identifiant à :f(x)=ax2+bx+c, on obtient alors : aS=bdoncS=ba aP=cdoncP=ca

Exemple : Soit le trinômef(x)=2x2+3x14

Nous savons que ce trinôme admet deux solutions72 et2, d"après notre résultat : S=ba =32 ce qui se vérifie72 +2=7+42 =32 P=ca =142 =7ce qui se vérifie72

2=7Théorème 4 :

Si un trinômef(x)=ax2+bx+cadmet deux racines, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=ba etP=ca 3.3

Application

Parfois, certaines équations admettent des solutions très simples que l"on appellent "racines évidentes". Lorsque l"on connaît une telle solution, le produit des racines permet alors de trouver la seconde.Exemples

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Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

1(x)=x2+2x+118

2(x)=2

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

Cela donne :

7377775

77775forme canonique deP2(x)

2377775

1(x)=x24x+5

Forme canonique du trinôme

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

2 RACINES DU TRINÔME

Cela donne :

77775Théorème 1 :

P(x)=a266664

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

2+bx+c=0Définition 3 :

266664

77775=0

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

2a=0oux+b2a+p

On obtient alors :

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

2a=3+114

2a=3114

On conclut par :

2.3Lediscriminantestnul

On obtient alors qu"une seule solution :

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S