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A l'aide de ce graphique, déterminer la solution de chacun des systèmes suivants : a) On considère le système de deux équations à deux inconnues suivant:

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Dans le menu Affichage , sélectionner les vues Graphique, Graphique 2 et Calcul formel • Dans la vue Graphique, afficher le repère ainsi que la grille On pourra 

[PDF] 20 RESOUDRE GRAPHIQUEMENT UN SYSTEME DEQUATIONS

inconnues Les solutions de cette équation sont les couples (x ; y) qui vérifient cette égalité ; par exemple (2 ; 3) est solution 2 x – y = 1 équivaut à y = 2 x – 1

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Chapitre 15 – Systèmes d'équations 1) Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues représentation graphique de la fonction affine 3

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Ce fichier se présente comme un « solveur » de systèmes de deux équations à deux inconnues du premier \text{\textsf{Résolution graphique d'un système de

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Exemple de

réalisation053Résolution d"un système d"équations

1Identification

TypeImagiciel

ModalitéVidéoprojection

Thème abordéSystème d"équations du premier degré

NiveauCycle 4

LycéePrérequisSystème d"équations

ObjectifIllustrer une notion

Réalisation techniqueDifficulté :

Vue(s) :

GraphiqueAlgèbreTableur

Cas 3D Fichier(s)systeme_equations.ggbQR Codehttp://url.univ-irem.fr/er73

2Captures d"écran

3Commentaires

Intérêt pédagogique :

être utilisé pour corriger des exercices sur les systèmes d"équations à deux inconnues.

Exploitation possible en classe :

Ce fichier se présente comme un "solveur» de systèmes de deux équations à deux inconnues du premier

degré.

L"utilisateur fournit les valeurs pour les différents coefficients et le logiciel affiche la solution du système

(quand elle existe), sous forme de fraction irréductible.

Résolution d"un système d"équations229

4Réalisation technique

➊Préparation de la zone de travail D ansl em enuAffichage, sélectionner les vuesGraphique,Graphique 2etCalcul formel.

•Dans la vueGraphique, afficher le repère ainsi que la grille. On pourra fixer l"intervalle entre deux gradua-

tions à une unité, aussi bien en abscisses qu"en ordonnées. ➋Les éléments champ texte À l"aide de la zone de saisie, créer une variable numériqueaen lui attribuant une valeur quelconque :a=2.• Recommencer la procédure pour créer cinq autres variables numériquesb,c,a', b'etc'. Sélectionner l"outilpuis cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique 2pour créer un champ texte : -pour la légende, entrer :a=; sélectionner la variable numériqueadans la liste dérou- lanteObjet lié.•

Recommencer la procédure pour créer cinq autres champs texte liés aux variables numériquesb,c,a',b'

etc'.

Il est possible de modifier les propriétés de champs texte pour agir sur leur largeur et sur leur couleur. Pour

cela, effectuer un clic avec le bouton droit de la souris sur l"un des champs texte, et choisirPropriétés....

dans l"ongletCouleur, sélectionner la couleur appropriée; -dans l"ongletStyle, choisir une valeur égale à 5 comme Longueur du Champ Texte.➌La vue Calcul formel

Nous utiliserons la vueCalcul formelpour calculer les valeurs exactes des solutions (quand elles existent)

du système. Nous profiterons également de cette vue pour obtenir un certain nombres d"éléments qui seront

affichés dans la vueGraphique 2sous forme d"objets texte.

P ourc réerla dr oited1 d"équationax+by=c, inscrire, dans la ligne 1 du calcul formel :d1:=a*x+b*y=c.•

Pour créer la droited2 d"équationa'x+b'y=c', inscrire, dans la ligne 2 du calcul formel :d2:=a"*x+b"*y=

c".•

Dans la première équation, pour obteniryen fonction dex, inscrire dans la ligne 3 du calcul formel :

Résoudre[d1,y].230

•L"objetrésultantse présente sous formedeliste,etles coefficientsne sontpas clairementidentifiables.Pour

Dans la seconde équation, pour obteniryen fonction dex, inscrire dans la ligne 5 du calcul formel :

Résoudre[d2,y].•

De la même façon que précédemment, pour obtenir un objet sous la formey=mx+p, inscrire en ligne 6

du calcul formel :Elément[Développer[$5],1].•

Dans le cas où le coefficientbvaut 0, il est nécessaire d"obtenir l"expression dexen fonction decet dea

sous la formex=ca . Pour cela, inscrire dans la ligne 7 du calcul formel :Elément[Résoudre[d1,x],1].• De même, sib'=0, on aura besoin d"afficher la seconde équation sous la formex=c'a '. Inscrire en ligne 8 du calcul formel :Elément[Résoudre[d2,x],1].•

Pour obtenir la solution du système, quand elle existe, inscrire dans la ligne 9 du calcul formel :Elément[

Solutions[{d1,d2},{x,y}],1].•

Pour obtenir l"abscisse du point d"intersection des deux droites, inscrire en ligne 10 du calcul formel :

Elément[$9,1].•

Pour obtenir l"ordonnée du point d"intersection des deux droites, inscrire en ligne 11 du calcul formel :

Elément[$9,2].➍Les objets texte intermédiaires

Pour créer les objets texte qui s"afficheront à l"écran, nous allons commencer par définir des objets texte

intermédiaires qui constitueront des éléments des affichages définitifs.

Pour obtenir, sous forme d"objet texte, la première équation dans laquelleyest exprimé en fonction dex,

inscrire, dans la zone de saisie :Equa1_y=LaTeX[$4].Résolution d"un système d"équations231

•Pour obtenir, sous forme d"objet texte, la première équation dans laquellexest exprimé en fonction dey,

inscrire, dans la zone de saisie :Equa1_x=LaTeX[$7].•

Pour obtenir, sous forme d"objet texte, la seconde équation dans laquelleyest exprimé en fonction dex,

inscrire, dans la zone de saisie :Equa2_y=LaTeX[$6].•

Pour obtenir, sous forme d"objet texte, la seconde équation dans laquellexest exprimé en fonction dey,

inscrire, dans la zone de saisie :Equa2_x=LaTeX[$8].•C achertous ces objets t exte. ➎L"affichage du titre et des systèmes

P ourc réerle tit re:

-sélectionner l"outilet cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique 2;

-dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :\text{\textsf{Résolution graphique d"un système dedeux équations à deux inconnues de la forme} }

\begin{cases}ax + by = c \\ a"x + b"y = c"\end{cases}-cocherFormule LaTeXet valider en cliquant sur le boutonOKOK.

P ourc réerl "affichagedu syst èmei nitial:

-sélectionner l"outilet cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique 2;

-dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :\text{Le système est :} \begin{cases}\vphantom{\frac{1}{3}}\\ \vphantom{\frac{1}{3}}\end{cases}232

Les instructions\vphantom{\frac{1}{3}}insèrent un espace vertical invisible afin de préserver l"ali-

gnement dans le cas où les coefficients s"expriment sous forme fractionnaire dans le second système.

-placer le curseur avant la première instruc- tion\vphantomet, dans la liste déroulante

Objets, sélectionner l"objet correspondant

à la droited1;-

placer le curseur avant la seconde instruc- tion\vphantomet, dans la dans la liste dé- pondant à la droited2;-cocherFormule LaTeXet valider en cliquant sur le boutonOKOK.

P ourc réerl "affichagedu sec ondsystèm e:

pour obtenir, sous forme d"objet texte, la première équation du second système, inscrire dans la zone

de saisie :Equa"_1=Si[b==0,Equa1_x,Equa1_y];-

pour obtenir, sous forme d"objet texte, la seconde équation du second système, inscrire dans la zone

de saisie :Equa"_1=Si[b==0,Equa1_x,Equa1_y];-cacher ces deux objets texte nouvellement créés; -sélectionner l"outilet cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique 2;

-dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :\text{ce qui équivaut à} \begin{cases}\vphantom{\frac{1}{3}}\\ \vphantom{\frac{1}{3}}\end{cases}-

placer le curseur avant la première ins- truction\vphantomet, dans la liste dérou- lanteObjets, sélectionner l"objet nommé

Equa"_1;-

placer le curseur avant la seconde ins- truction\vphantomet, dans la dans la nomméEqua"_2;-cocherFormule LaTeXet valider en cliquant sur le boutonOKOK. À l "aidede l "outilou de l"outil, créer le pointS, point d"intersection des droitesd1 etd2.

Résolution d"un système d"équations233

•D ansl az onede saisie ,insc rire: S_1=(x(S),0).•D ansl az onede saisie ,insc rire: S_2=(0,y(S)).•A vecl "outil, construire les segments [SS1] et [SS2].

•Ouvrir le panneau des propriétés de ces deux segments, et, dans l"ongletStyle, choisir un mode de

représentation en pointillés.•C acherl esp ointsS1etS2. ➐La case à cocher Avec l"outilcréer, dans la vueGraphique 2, une case à cocher en nommantsolle booléen associé à cette case. Dans la boîte de sélection des objets à afficher/cacher, sélectionner : -le pointS; -les segments [SS1] et [SS2].➑L"abscisse et l"ordonnée du pointS

Nous désirons, dans la vueGraphique 1, afficher les coordonnées exactes du pointSlorsque la casesolest

cochée. Mais, selon la position du pointS, l"affichage de son abscisse ou de son ordonnée risque d"empiéter

sur le tracé des segments [SS1] et [SS2]. Pour contourner le problème, nous créerons, pour l"abscisse et pour

l"ordonnée deS, deux objets texte identiques que nous positionnerons et afficherons en fonction de la position

du pointS.

D ansl ec hampde saisie ,insc rire: Sol_x=LaTeX[$10].•D ansl ec hampde saisie ,insc rire: Sol"_x=Sol_x.•D ansl ec hampde saisie ,insc rire: Sol_y=LaTeX[$11].•D ansl ec hampde saisie ,insc rire: Sol"_y=Sol_y.•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eSol_x:

-dans l"ongletPosition, sélectionner le pointS1dans la liste déroulantePoint de départ;-dans l"ongletAvancé, rubriqueCondition pour afficher l"objet, inscrire :sol && (y(S)>=0).•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eSol"_x:234

-dans l"ongletPosition, sélectionner le pointS1dans la liste déroulantePoint de départ;-dans l"ongletAvancé, rubriqueCondition pour afficher l"objet, inscrire :sol && (y(S)<0).•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eSol_y:

-dans l"ongletPosition, sélectionner le pointS2dans la liste déroulantePoint de départ;-dans l"ongletAvancé, rubriqueCondition pour afficher l"objet, inscrire :sol && (x(S)>=0).•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eSol"_y:

-dans l"ongletPosition, sélectionner le pointS2dans la liste déroulantePoint de départ;-dans l"ongletAvancé, rubriqueCondition pour afficher l"objet, inscrire :sol && (x(S)<0).•Cocher la casesol, agir sur les coefficientsa,b,c,a',b'etc'de telle sorte à faire apparaître les objets

Sol_x,Sol"_x,Sol_yetSol"_yet placer ces objets ainsi : -positionnerSol_xsous l"axe des abscisses; -positionnerSol"_xau-dessus de l"axe des abscisses; -positionnerSol_yà gauche de l"axe des ordonnées; -positionnerSol"_yà droite de l"axe des ordonnées; ➒L"affichage de la réponse

Nous utiliserons une liste pour stocker les messages correspondant aux trois cas possibles (une solution unique,

une infinité de solutions, pas de solution) et nous afficherons l"élément adéquat de cette liste lorsque la case

solsera cochée.

Dans la zone de saisie, définir une variable numérique nommédéterminantainsi :déterminant=a*b"-

a"*b.•D ansl az onede saisie ,défin irune v ariablen umériquenommé NuméroAffichageSolutionainsi :

1 si le système admet une solution unique

2 si le système admet une infinité de solutions

3 si le système n"admet aucune solution

P ourc réerle text een ca sde sol utionuniqu e: -sélectionner l"outilet cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique 2;

Résolution d"un système d"équations235

-dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :\text{Solution :} \left\{\vphantom{\frac{1}{3}}x=

\, ;\, y= \right\}-placer le curseur après le texte "x=» et, dans la liste déroulanteObjets, sélection- ner l"objet nomméSol_x;- placer le curseur après le texte "y=» et, dans la dans la liste déroulanteObjets, sé- lectionner l"objet nomméSol_y;-cocherFormule LaTeXet valider en cliquant sur le boutonOKOK.

En supposant que l"objet texte précédemment créé s"appelletexte3, créer, depuis la zone de saisie, une

liste nomméeListeAffichageSolutionsainsi :ListeAffichageSolutions={texte3,LaTeX["\text{Le système admet une infinité de solutions}"],LaTeX["\text{Le système n"admet aucune solution}"]}•C acherl al isteListeAffichageSolutions.

Pour créer le texte correspondant à la réponse, sélectionner la vueGraphiqueet inscrire dans la zone de

saisie :TexteSolution=Elément[ListeAffichageSolutions,NuméroAffichageSolution]•

Ouvrir le panneau des propriétés de l"objet texteTexteSolution, et, dans l"ongletAvancé, rubrique

Condition pour afficher l"objet, inscrire :sol.➓Finalisation C olorierles diff érentsélé mentsde l afigur e.

P ositionnerl esd ifférentsobj etstext e.

F ermerles vu esCalcul formeletAlgèbreet ajuster la position des vuesGraphiqueetGraphique 2. O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l ad roited1, et, dans l"ongletBasique: -inscrire, dans le champLégende:$d_1$; -cocher la caseAfficher l"étiquette;

-dans la liste déroulante, sélectionnerLégende.•R ecommencerl apr océdurep ourla dr oited2.

Appliquer la technique de la ficheRendre dynamique la légende d"une case à cocher (ou d"un bouton,

ou ...)(page 723) pour modifier dynamiquement la légende de la case à cocher.236quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16