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Espacestopologiquescompacts

1Introduction

2Notionsdebase

brable).

DéfinitionSoit

?Ui ?i?I???(X).Ondiraque?Ui ?i?Iestunrecouvrementouvert deXsi ?i?I?Ui? ?etque X i?IU i

DéfinitionOndiraque(X,

ydeX,ilexistedesouvertsOxetOytelquex ?Ox?y?OyetOx ?Oy?/0.

DéfinitionOndiraque(X,

-(X, ?)estséparé. si X i?IU i alorsilexisteI0 ?Idecardinalfinitelque X i?I0U i 1

Définition(Proposition)Ondiraque(X,

?)estunespacetopologiquecompactsi ilvérifie: -(X, ?)estséparé. -Detoutfamille ?Fi ?i?Idefermévérifiant i?IF i ?/0? trouverI0 ?Idecardinalfiniettelque i?I0F i ?/0

DémonstrationSoit?Fi

i?IF i ?c i?IFci ?/0c?X Fci mentfini.SoitdoncI0 ?Idecardinalfinitelque i?I0F ci ?X i?I0F i ?/0

CorollaireSi?Fn

alors n?INF n ?/0 ?Fn ?n?INdefermé,ona pourtoutepartiefinieI0deIN: i?I0F i ?/0 (cequiestvraiicicar ?Fn ?n?INestdécroissanteet i?I0F i ?Fi0 oui0=sup ?i?I0 ?)alorsona i?INF i ?/0 2 topologiedéfinieparlavaleurabsolue.

3Suitesdansunespacecompact

laireprécédent. ?xn ?n?INestunesuitedeXetxest unpointdeX,onal'équivalencesuivante: ?xn ?n?INadmetxcommepointd'accumulation ?Onpeutextrairede?xn ?n?IN unesoussuiteconvergeantversx. lation. sembledesvaleursd'adhérenced'unesuite ?xn ?n?INestdonnépar i?0 ?xn;n?i

Posons

F i ????xn;n?i ???i?IN? ?xn ?n?INestparconséquent nonvide.Cqfd. convergente.Peutonalorsaffirmerque(X, ?)estcompact?Laréponse,danslecas

4Sousespacescompacts

Onsupposedorénavantque(X,

?)estunespaceséparé. 3

DéfinitionOnditd'unsousensemblede(X,

?)qu'ilestcompacts'ilestcompact pourlatopologieinduitedecelledeX. caractérisationsuivante:

PropositionOnaéquivalenceentre:

-KestunsousespacecompactdeX. -Pourtoutefamille ?Ui ?i?Id'ouvertsdeXtelque K i?IU i ilexisteI0 ?Idecardinalfinitelque K i?I0U i

DémonstrationSi?Ui

?i?Iestunefamilled'ouvertsdeX,alors ?Ui ?K ?i?Iestune ?Ui ?K etonauranécessairement K i?I0U i ?Ui ?i?I vérifiant K iinIU i duite. enétudiantlapropositionsuivante.

ThéorèmeToutcompactestfermé.

estouvert.SiKc ?ycontenantxet unouvertOycontenantytelqueOx ?y?Oy?/0.Maisonal'inclusion K y?KO y 4

Lafamille?Oy

peutextraireunrecouvrementfini ?Oyi ?i?1??n.Posant O n i?1O x ?yi ?Ui

K.Lafamille

?Fc ?Un;n?IN ?estunrecouvrementouvertdeK.Onpeutdoncen extraireunrecouvrementfinideK ?Ui ?i?I0ouI0estunepartiefiniedeI.Maisalors F i?I0U i etFestcompactCqfd.

Proposition

Démonstration

-Soit ?Ki desélémentsdecettefamilleet ?Uj ?j?JunrecouvrementouvertdeK.Pourtout i=1...n, ?Uj ?Ki K ?Uj ?Ki ?j?Ji0.Maisla famille ?Uj;j?Ji0;i0?1 ?????n ?estfinie,extraitedelafamille?Uj ?j?Jetrecouvre aainsibienmontréqueKestcompact. -Soit ?Ki .C'estdoncunespacecompact.

5Continuitéetcompacité

compacte. 5

DémonstrationSoientKuncompactde(X,

?),(Y, ???)unespacetopologiqueet f:X i ?i?Iunrecouvrementouvert def ?K ?(pourlatopologieinduitesurf?K ?...).Onadonc f ?K i?IU i f ?1 ?A ?B ???f?1 ?A ???f?1 ?B Alors K ?f?1 ?f?K ?????f?1 i?IU i i?If ?1 ?Ui

Maisfétantcontinue,chaquef?1

?Ui ??KestunouvertdeK(pourlatopologieinduite ?f?1 ?Ui ??K ?i?Iun recouvrementfinideK ?f?1 ?Ui ??K alors,comme f ?A ???f?B ?f?A ?B f?K ???f?? i?I0f ?1 ?Ui ??K i?I0f ?f?1 ?Ui ??K i?I0f ?f?1 ?Ui i?I0U i

Etdonc,durecouvrementinitialdef?K

?,onaextraitunrecouvrementfini,cequi prouvequef ?K ?estcompact.

RemarqueSifestunhoméomorphismede(X,

?)dans(Y, ???)etqueXestcom- pact,ilenestdemêmedeY. 6quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44