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Exercice no30 p 205 – Le pendule électrostatique 1 a en rien choquant dans un exercice de niveau Math Sup comme celui-ci de corrigé 0 0,1 −0,1 10



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Exercice no30 p. 205 - Le pendule électrostatique

1.1.a.Le travail du poids lorsque la sphère passe du pointO au point A est un travail résistant (W<0) car la

sphère s"élève sur une hauteurh=OH=yA-yO>0, contre l"effet du poids P=mg:

W=-mgh

y OF A Hα Dans le triangle (HAF) rectangle en H, la longueur

HF adjacente à l"angleαvaut :

HF=?cosα

La longueur OF vaut?, longueur du fil du pendule,

donc la longueur OH vaut :

OH=OF-HF=?-?cosα=?(1-cosα)

?W=-mg?(1-cosα)c.q.f.d.

1.b.Le travail de la force électrique lorsque la sphèrepasse du point O au point A selon l"arc de courbe OAa la même valeur que si la sphère passe du point Oau point H, puis du point H au point A. En effet, laforce électrique est conservative, donc son travail nedépend pas du chemin suivi :

W

O→A=WO→H+WH→A

Remarque : c"est le même argument qui nous a per- mis d"écrire directementmghpour le travail du poids, voir le cours pour la démonstration dans le cas du poids. Mais continuons. Le travail de la force élec- trique O à H est nul, car ce déplacement est perpen- diculaire à la force appliquée. Reste le travail de H à A. Dans le triangle (HAF) rectangle en H, la longueur

HA opposée à l"angleαvaut :

HA=?sinα

La force électrique a pour norme :

F=|q|E

Le travail de la force électrique est un travail moteur (W e>0) : W e=|q|E?sinα

2.Les forces étant conservatives, elles dérivent d"uneénergie potentielle, c"est-à-dire qu"en raison de laconservation de l"énergie mécanique et par applicationdu théorème de l"énergie cinétique (qui indique que lavariation d"énergie cinétique est égale au travail desforces) on peut montrer que la variation de l"énergiepotentielle est égale et opposée au travail de la force.Cela peut paraître un peu brutal sans la démonstrationmais en fait c"est tout-à-fait correct car c"est la définition

générale d"une énergie potentielle (le mot " dérive » est employé dans son sens mathématique) et cela permet de résumer dix lignes en une seule phrase (et ce n"est en rien choquant dans un exercice de niveau Math Sup comme celui-ci, bien au contraire, c"estélégant). Donc, les forces étant conservatives, elles dérivent d"une énergie potentielle :

Δ?pp=mg?(1-cosα)

Δ?pe=-|q|E?sinα

3.Si l"angleαest en colonne A, la formule à taper en co-

lonne B pour avoir la valeur de la variation d"énergie potentielle de pesanteurΔ?ppest : =-0.0005*10*0.1*(1-COS(A2/180*PI())) en commençant par la ligne 2 et en recopiant vers le bas. Pour l"énergie potentielle électrique, le champ élec- trique -→E a pour norme :

E=VP-VN

d=150018,0×10-2=8,33×103V·m-1 Donc la formule à taper en colonne C, à partir de la ligne 2, est : =-0.0000003*8333*0.1*SIN(A2/180*PI())

La somme ne pose pas de problème particulier :

=SOMME(B2:C2) Quelques valeurs (non arrondies) sont proposées en fin de corrigé. 00,1 -0,110 20 30 40 50α(o)Δ?p(mJ)

Δ?pp

Δ?pe

Δ?p

4.Pourα=27o, la sommeΔ?pprésente un minimum. Il

s"agit d"une position d"équilibre stable pour le pendule. Après quelques oscillations, le pendule va se stabiliser

à cet angle.

αΔ?pp(J)Δ?pe(J)Δ?p(J)

0000 10

0.00000759612349389599-0.0000434103079349559-0.0000358141844410599

20

0.0000301536896070458-0.0000855016156299839-0.0000553479260229381

30

0.0000669872981077807-0.000124995-0.0000580077018922193

40

0.000116977778440511-0.000160690474545538-0.000043712696105027

50

0.00017860619515673-0.000191503450335313-0.000012897255178583

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