Exercices : 19 - Champ électrostatique A Calculs de champ et de potentiel 1 Théor`eme de superposition Une sph`ere de rayon b porte une charge positive Q
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1 - Exercices : 19 - Champ ´electrostatiqueSciences Physiques MP* 2022-2023
Exercices : 19 - Champ ´electrostatique
A. Calculs de champ et de potentiel
1.Th´eor`eme de superposition
Une sph`ere de rayonbporte une charge positiveQr´epartie uniform´ement sur sa surface.1. Calculer le potentiel cr´e´e `a l"int´erieur par la chargeQ.
a)V=Q4πε02bb)V= 0 c)V=Q4πε01bd)V=Q4πε012b
Deux sph`eres identiques `a la pr´ec´edente sont dispos´ees sym´etriquement sur l"axeOypar rapport `aO
aux pointsAetBdistants de 2a(aveca > b). Une troisi`eme charge-2Qconsid´er´ee comme ponctuelle se trouve enO.2. Calculer le champ ´electrique cr´e´e par les trois charges en un pointPde l"axeOxd"abscissex.
a) ?E=Q x(a2+x2)3/2-1x2? ?e x c) ?E=Q4πε0?
x(a2+x2)3/2+1x2? ?e xd)?E=Q4πε0? x(a2+x2)3/2-1x2? ?e x 2.´Energie d"une goutte charg´ee
Une goutte sph´erique de mercure, de charge en surface 8Q, se s´epare en 8 petites gouttes sph´eriques identiques
(mˆeme charge et mˆeme diam`etre). Apr`es cette s´eparation,ces 8 gouttes n"interagissent plus. L"´energie potentielle
´electrostatique d"une sph`ere avec une distribution continue de charge en surface, de rayonret de chargeqvaut
q 28πε0ro`uε0est la permittivit´e du vide. Quel pourcentage de l"´energie ´electrostatique initiale a ´et´e converti, lors
de cette transformation, en une autre forme d"´energie?Proposition de r´eponses :
a) 25% b) 75% c) 12,5% d) 0%3.Mod´elisation du noyau
Le noyau de certains atomes l´egers peut ˆetre mod´elis´e par une distribution sph´erique de rayonadont la charge
varie en fonction de la distancerau centre suivant la loi :ρ=ρ0? 1-r2 a2? o`uρ0est une constante positive et r < a.1. Calculer la charge du noyau.
2. Calculer le champ ´electrique pour un pointMquelconque de l"espace situ´e `a une distancerdu centreO
teller > a.3. Calculer le champ ´electrique pourr < a. Y a-t-il continuit´e enr=a?
4. Calculer le potentiel pourr > a.
5. Calculer le potentiel pourr < a. Y a-t-il continuit´e enr=a?
4.Peau charg´ee
Il existe des situations physiques o`u une charge volumique peut ˆetre pr´esente dans une ´epaisseur limit´ee sous la
surface d"un syst`eme. Cette ´epaisseur que l"on peut assimiler `a une peau est la cons´equence de la d´ecroissance
rapide de la charge volumique avec la profondeur. On consid`ere le vide situ´e enz <0 et un mat´eriau de
permittivit´eε0, assimil´ee `a celle du vide par cons´equent, situ´e enz≥0. Dans ce milieu mat´eriel, on consid`ere
une charge volumique ´evoluant en fonction la profondeurzselon la loi :ρ(z) =ρ0exp-z
a o`uρ0etasont des constantes positives.1. Repr´esenterρ(z) et estimer l"´epaisseurede la peau ´evoqu´ee dans l"´enonc´e.
2. Si l"on se place `a des abscissesztelles que|z| ?a, montrer que l"on peut assimiler la distribution de
charge `a celle d"un plan infini et infiniment fin, dot´e d"une charge surfaciqueσque l"on calculera. On
conviendra de placer le plan infini enz= 0. Rappeler l"expression du champ ´electrique cr´e´e par le plan
infini pr´ec´edent.JR SeigneClemenceauNantes
Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 19 - Champ ´electrostatique - 23. On revient `a l"´etude de la distributionρ(z). D´eterminer l"expression du champ ´electrique cr´e´e en tout
point de l"espace.5.Mod´elisation de la jonction PN d"une diode ou d"un transistor
Lorsqu"un semi-conducteur pr´esente, dans une r´egion tr`es localis´ee de l"espace, une variation tr`es brutale de la
concentration en dopant, voire un changement de la nature du dopant, on dit qu"on a une jonction. Au voisinage
de la jonction, dans une r´egion dite??zone de charge??, le cristal acquiert une distribution de charge ´electrique
non nulle que l"on se propose d"´etudier. Les propri´et´es qui en r´esultent sont `a la base de la caract´eristique de
diodes, des transistors et de tous les circuits int´egr´es ( ampli open particulier). z O-L1 L 2 1ρ 2 Figure1 - Mod´elisation volumique de la jonctionPN1. On consid`ere un plan infini d"´equationz= 0, portant une densit´e surfacique de chargeσconstante. Ce
plan est plong´e dans un milieu quasi-isolant dans lequel la permittivit´e´electrique est?rε0. D´eterminer le
champ ´electrique cr´e´e en tout point de l"espace en utilisant le th´eor`eme de Gauss.On se place dans le germanium, de permittivit´e relative?ret on suppose que la densit´e volumique de
chargeρinvariante enxet enyautour d"une jonction situ´ee dans le planz= 0 a l"allure de la figure 1 :
2. Sachant que la distribution de charge est globalement neutre, ´etablir la relation v´erifi´ee parL1,L2,ρ1
etρ2.3. D´eterminer le champ ´electrique en tout pointMde l"espace. On utilisera l"´equation de Maxwell relative
au champ ´electrique en utilisant le fait que le champ ´electrique est nul pour un pointMsitu´e `a l"infini.
4. En d´eduire le potentiel ´electrostatiqueV(M). On choisira l"origine des potentiels enz= 0.
5. Repr´esenterV(z).
6. Donner l"expression de la diff´erence de potentielV0entre deux points situ´es de part et d"autre de la zone
de charge.7. La r´egion (z >0) a ´et´e dop´ee avec de l"antimoine `a raison deN2= 1,6×1021atomesSbpar m3, tandis
que la r´egion (z <0) a ´et´e dop´ee avec du bore, avec un nombre d"atomesN1?N2. On admet que dans
la zone de charge, chaque atomeSbest ionis´e enSb+. Les ´electrons ainsi lib´er´es traversent spontan´ement
le planz= 0 et chaque atome de bore situ´e dans la zone de charge se transforme en un anionB-. En d´eduireρ1etρ2en fonction deN1etN2.8. Le syst`eme ainsi constitu´e est une diode `a jonction dont la tension de seuil est voisine deV0. En d´eduire
une expression approch´ee de la largeurδde la zone de charge.9. Application num´erique : calculerδ; on donne :ε0= 8,85×10-12F·m-1;?r= 16;V0= 0,3V et
e= 1,6×10-19C.6.Potentiel de Yukawa
Un plasma en ´equilibre thermique `a la temp´eratureTest form´e d"´electrons de charge-eet d"ions positifs
de charge +e, qui se r´epartissent dans l"espace avec la densit´e particulaire (nombre de particules par unit´e de
volume) donn´ee par la loi de Maxwell-Boltzmann,n+=n0exp? -e kBTV(r)? ,n-=n?0exp? +ekBTV(r)? , o`uV(r) d´esigne le potentiel ´electrostatique qui r`egne en un pointMsitu´e `a la distancerd"une charge positive
ponctuelleQintroduite au point origineOdu plasma.1. Justifier ces expressions.
Le plasma ´etant globalement neutre `a grande distance deO, reliern0etn?0.2. D´eterminer la densit´e volumique de chargesρ(r) en fonction deV(r). Simplifier cette expression dans le
cas o`u la temp´erature du plasma est assez ´elev´ee.JR SeigneClemenceauNantes
3 - Exercices : 19 - Champ ´electrostatiqueSciences Physiques MP* 2022-2023
3.´Etablir une ´equation locale v´erifi´ee parV(r).
4. R´esoudre cette ´equation en d´eterminantV(r). On pourra poserV(r) =f(r)
ret ´etablir une ´equation diff´erentielle du second ordre v´erifi´ee parf(r). Commenter.7.Cylindre creux
On consid`ere un cylindre creux de rayonR, d"axeOz, d"extensionhsur cet axe entre les abscisseszb=-h/2
etzh=h/2. Ce cylindre porte la densit´e surfacique de chargeσuniforme.1. On consid`ere un pointMde l"axeOzd"abscissez. D´eterminer le champ ´electrique?Ecr´e´e par le cylindre
enM.2. On consid`ere la mˆeme situation que pr´ec´edemment mais maintenant le cylindre est situ´e entre les abscisses
z b= 0 etzh=h. Comment ´evolue l"expression pr´ec´edente?3. Que se passe-t-il lors que le cylindre devient infini? On examinera leprobl`eme `a la fois par un rai-
sonnement d"ordre g´eom´etrique mais aussi `a partir des r´esultats des deux questions pr´ec´edentes. Qu"en
pensez-vous? 8.´Energie de liaison d"un noyau
On consid`ere le noyau d"un atome contenantA=N+Znucl´eons etZprotons de charge +e. On assimilele noyau `a une boule de rayonR=r0A1/3o`ur0= 1,2.10-15m. On effectuera les applications num´eriques
demand´ees dans le cas du chlore (A= 35 etZ= 17).1. L"´evolution du rayonRenA1/3vous semble-t-elle coh´erente? D´eterminer le rayon du noyau de chlore (en
fm), ainsi que sa densit´e volumique de chargeρen supposant la charge des protons r´epartie uniform´ement.
2. Les physiciensBetheetWeizs¨ackeront propos´e la formule semi-empirique suivante de l"´energie de
liaison d"un noyau :E(A,Z) =v A-sA2/3-cZ2
A1/3+γ(A,Z)
Les param`etresv,setcsont des constantes positives et la fonctionγ(A,Z), d"origine quantique, n"est
pas d´etaill´ee ici. Quel terme est-il associ´e `a l"interaction ´electrostatique du noyau?
3. Quelle est l"origine principale de la stabilit´e du noyau? Interpr´eterles deux autres termes de la formule
deBetheetWeizs¨acker(autres queγ(A,Z) bien sˆur) en discutant notamment physiquement leurs d´ependances avecA.On cherche `a d´eterminer plus pr´ecis´ement le terme ´energ´etique d"interaction ´electrostatique du noyau.
Pour ce faire, on d´etermine l"´energieEde constitution d"une boule de rayonRet de chargeQunifor-
m´ement r´epartie dans son volume. Cette ´energie correspond au travail total `a fournir pour construire la
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