[PDF] [PDF] Trigonométrie et nombres complexes

[PDF] La fonction exponentielle complexe

mais aussi les différences, entre les exponentielles réelles et complexes Cette introduction est Cos(̂θ1 + ̂θ2) = Cos ̂θ1 Cos ̂θ2 − Sin ̂θ1 Sin ̂θ2

[PDF] Nombres complexes et exponentielle complexe - webusersimj-prgfr

Remarque 4 5 On déduit de ce qui préc`ede que la multiplication par le nombre complexe cos ϕ ` i sin ϕ, de module 1 et d'argument ϕ, correspond, dans le plan, ` 

[PDF] Lexponentielle complexe

nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont introduit les fonctions trigonométriques cos, sin et leurs propriétés

[PDF] Nombres complexes et trigonométrie - Mathieu Mansuy

6 Exponentielle complexe 13 7 Nombres Si θ est un réel, on note eiθ le nombre complexe défini par eiθ = cos θ + i sin θ Exemples • e2iπ = 1, eiπ = −1

[PDF] Nombres complexes - ENS

0 2 1 Fonction exponentielle réelle et complexe Série enti`ere utilisant les formules trigonométriques sur cos(θ1 + θ2) et sin(θ1 + θ2) Racines carrées et 

[PDF] Trigonométrie et nombres complexes

2 sept 2015 · z = r(cos(θ) + i sin(θ)) avec r = z et θ = arg z Cette écriture est appelée forme exponentielle de z Proposition 

[PDF] Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

et sin θ = eiθ − e−iθ 2i 2 Arguments d'un nombre complexe non nul Soit z ∈ C∗, et M On a alors z = reiθ (écriture exponentielle) avec r = z et θ = arg(z) Technique de l'angle moitié :1+eiθ = eiθ/2(e−iθ/2 + eiθ/2)=eiθ/22 cos(θ/2) 2

[PDF] Le module, les arguments, lexponentielle imaginaire et leurs

complexe et de l'exponentielle imaginaire Dire que le réel θ est un argument du nombre complexe non nul z signifie qu'il vérifie l'égalité : ( ) ( ) z e cos sin z

[PDF] Exponentielle complexe 131 Exponentielle - NUMERICABLE

13 1 Exponentielle complexe Définition 1 On appelle exponentielle complexe la somme de la série enti`ere ∀z ∈ C, ez = ch z + sh z, eiz = cos z + i sin z

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cos(θ) =OP=QM sin(θ) =OQ=PM tan(θ) =IR=IR OI =PM OP cos(θ)2+sin(θ)2=1.

1+tan(θ)2=1cos(θ)2,

?π4 ?π3 2 ?2π3 6π 4π 3π

22π3π

cos(θ)1⎷3

2⎷2

21
20-

12-1sin(θ)01

2⎷2

2⎷3

21⎷3

20 tan(θ)0⎷3

31⎷3--

⎷30

π+θ?π-θ?π2

+θ??π2 π2 -θπ2

θ-π2

-θ-π2 cos(a+b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b), x 2-

π2-ππ1

2-

π2-ππ1

cos(a-b) =cos(a)cos(b) -sin(a)sin(b). sin(a)sin(b) =12 (cos(a-b) -cos(a+b)). ?π2 +kπ;π2 + (k+1)π? ,k?Z.

Formulaire de Trigonométrie

Angles remarquables :

0π 6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3

31⎷3

sin(α) cos(α)α

2-απ2+α

2-π2-α

Angles associés :

cos(-α) =cos(α)sin(-α) =-sin(α)tan(-α) =-tan(α)

Formules fondamentales :

cos2(x) + sin2(x)=11 + tan2(x)=1cos2(x)

Équations trigonométriques de base :

sin(x) = sin(a)?????x=a[2π] ou x=π-a[2π]cos(x) = cos(a)?????x=a[2π] ou x=-a[2π] tan(x) = tan(a)??x=a[π]

Formules d"addition :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a+b) =sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)sin(a-b) =sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a) + tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1 + tan(a)tan(b)

Formules de duplication :

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a) =2cos2(a)-1 =1-2sin2(a) sin(2a) =2sin(a)cos(a) tan(2a)=2tan(a)1-tan2(a)

Formules de multiplication :

cos(a)cos(b)=12(cos(a+b) + cos(a-b)) cos(a)sin(b)=12(sin(a+b)-sin(a-b) sin(a)sin(b) =12(cos(a-b)-cos(a+b)) cos2(a) =12(1 + cos(2a)) sin2(a) =12(1-cos(2a))

Formules de la tangente du demi-

angle :(on poset= tan(x 2)) cos(x)=1-t21 +t2 sin(x) =2t1 +t2 tan(x)=2t1-t2

Formules de Simpson :

sin(p) + sin(q) =2sin?p+q2?cos?p-q2? sin(p)-sin(q) =2cos?p+q2?sin?p-q2? cos(p) + cos(q)=2cos?p+q2?cos?p-q2? cos(p)-cos(q)=-2sin?p+q2?sin?p-q2? 1 x 2-

π2-ππ-

3π23π2

x i 2= -1 z=a+ib,????a,b?R. (a+ib) + (a?+ib?) = (a+a?) +i(b+b?), (a+ib)?(a?+ib?) = (aa?-bb?) +i(ab?+a?b), xy OM ?a b?ab

R? ?? ? ?

????a=a? b=b?. z:=a-ib. z+¯z=2Re(z), z-¯z=2iIm(z). |z|=⎷z

¯z.

z

¯z=a2+b2,

|z|=OM. 1z =1z z¯ z=¯zz

¯z=¯z|z|2.

1z :=¯z|z|2, z=0?|z|=0 |z+z?|?|z|+|z?| |zz?|=|z| |z?|????1z ???=1|z|???zz ????=|z||z?| zn|=|z|n z=|z|(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) =a⎷a

2+b2sin(θ) =b⎷a

2+b2. xy OM ?a ??M??? ?? ????? ??????z? arg(zz?) =arg(z) +arg(z?) [2π] arg?zz =arg(z) -arg(z?) [2π] z=r(cos(θ) +isin(θ)). cos(θ) +isin(θ) =?iθ. z=r(cos(θ) +isin(θ)). ?r?iθ?? r ??iθ?? = (rr?)?i(θ+θ?), r?iθr ??iθ?=rr ??i(θ-θ?), iθ???? ?? ??????1????? ??? ?? ?????? 1z =1r ?-iθ. cos(θ) =?iθ+?-iθ2 z

2=a+ib,??(-z)2=a+ib.

x,y?????? ???? ??? (x+iy)2=a+ib.????? (x2-y2) +2ixy=a+ib. ????x |z|2=?a 2+b2. ?????|z|=?x

2+y2? ?? ???? ???? ???

x

2+y2=?a

2+b2.

2x2=a+?a

2+b2. x=±?a+⎷a 2+b22 ?? x?=0? ?? ???? ????? ?????? y=b2x=±b2 ?2 a+⎷a 2+b2.

2+b2???????

y

2=⎷a

2=|a|,

?? ???? ???y=±?|a|? az

2+bz+c=0.

az

2+bz+c=a(z-z0)(z-z1),

az

2+bz+c=a(z-z0)2.

z- (1+i))2- (1+i)2+2=0. ???(1+i)2=2i? ???? ?? ???????z?C??? ??? z- (1+i))2= -2-2i.

Z=X+iY? ?? ???? ???????

X=?-1+⎷2,??Y=-1?-1+⎷2

z= (1+i)±? ?-1+⎷2-i?-1+⎷2 z n=1. ?? ???????r,θ? ????r >0???? ??? ?r?iθ?n=1. ???? ??????? ? ???????r??θ???? ???rn?inθ=1? ?? ??????? ?? ?????? ???? ????? inθ=1. cos(nθ) +isin(nθ) =1. ????cos(nθ) =1 sin(nθ) =0 ?? ???? ???? ???nθ=0[2π]? ?? ???? ???

θ=0?2πn

θ=2kπn

????k=0,1,···(n-1)? O

θ=4π3θ=2π3

θ=0θ=0θ=π2

θ=πθ=3π2

?? ??????? |z|=⎷a

2+b2? ?? ???? ??? ?

z=|z|?a⎷a

2+b2+ib⎷a

2+b2? cos(θ) =a⎷a

2+b2??sin(θ) =b⎷a

2+b2. z=r?iθ? ????? Re (z)=rcos(θ)??Im(z)=rsin(θ).quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44