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Nombres complexes et trigonometrieChapitre 4
1 Ensemble des nombres complexes 2
1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Conjugue d'un nombre complexe . . . . . . . . . .
21.3 Module d'un nombre complexe . . . . . . . . . . .
32 Nombres complexes de module 1 et trigonometrie 5
2.1 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . .
52.2 Application a la trigonometrie . . . . . . . . . . . .
62.2.1 Linearisation des puissances de cosinus et
sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Factorisation par l'angle de l'arc moitie . .
72.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus . . .
72.2.4 Polyn^omes de Tchebichev . . . . . . . . . .
73 Forme trigonometrique, argument 8
4Equations algebriques dansC9
4.1 Racines carrees d'un nombre complexe . . . . . . .
94.2Equation du second degre a coecients complexes10
5 Racinesn-iemes d'un nombre complexe 11
5.1 Racinesn-iemes de l'unite . . . . . . . . . . . . . .11
5.2 Racinesn-iemes d'un complexe . . . . . . . . . . .12
6 Exponentielle complexe 13
7 Nombres complexes et geometrie plane 13
7.1 Alignement et orthogonalite . . . . . . . . . . . . .
137.2 Transformations remarquables du plan . . . . . . .
148 Fonctions a valeurs complexes 14
Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.frPCSI5Lycee Saint Louis, Paris
1 Ensemble des nombres complexes
1.1 Denition
Denition.On appelle ensemble desnombres complexeset on noteC, l'ensemble des nombres de la formea+ibou
aetbsont des reels et ouiun element qui veriei2=1. Dans cet ensemble, on denit une loi + et une loipar :(a+ib) + (a0+ib0) = (a+a0) +i(b+b0) et (a+ib)(a0+ib0) = (aa0bb0) +i(ab0+a0b)Remarque.Rpeut ^etre vu comme un sous-ensemble deCen identiantx2Ravec le nombre complexex+i0.
En particulier, les lois + etdenies surCprolongent l'addition et la multiplication usuelles surR.Soitz2C. Alors il existe un unique couple (a;b)2R2tel quez=a+ib.Propriete 1
Preuve.En eet si (a;b) et (a0;b0) sont tels quez=a+ib=a0+ib0, alors (aa0) =i(b0b). En elevant au carre, on obtient (aa0)2=(b0b)2, et donca=a0etb=b0. Denition.Soitz=a+ib2C. On dit queza pourecriture algebriquea+ibet on denit: ?asapartie reellequ'on noteraRe(z), ?bsapartie imaginairequ'on noteraIm(z).Sia= 0, on dira quez=ibest imaginaire pure. On noteraiRl'ensemble des imaginaires pures.(1)Soien tz;z02C. Alors:z=z0,Re(z) =Re(z0) etIm(z) =Im(z0).
(2) L'application f: (a;b)7!z=a+ibrealise une bijection deR2surC.Propriete 2 Interpretation geometriqueCette bijection nous permet d'identier leplan complexeau plan usuel muni d'un repere orthonorme direct (O;~i;~j) : On associe az=a+ib2Cun unique pointMdu plan de coordonnees (a;b), et un unique vecteur~vtel que ~v=a~i+b~j. On dit quezest l'axedu pointMet du vecteur~v, et on ecritM(z) et~v(z). On notera que, pourA(z) etB(z0) deux points du plan, l'axe du vecteur~ABestz0z. Exemple.Soitz=a+ib2Ctel quea2+b2= 1. Montrer que siz6= 1, alors1+z1zest un nombre imaginaire pur.1.2 Conjugue d'un nombre complexe
Denition.Soitz=a+ib2C. On appelleconjuguedezle nombre complexeztel quez=aib.Remarque.Dans le plan complexe, les points imagesM(z) etM0(z) sont donc symetriques par rapport a
l'axe (Ox). 2PCSI5Lycee Saint Louis, ParisSoientz;z02C. Alors:
(1)z=z(2)z+z0=z+z0(3)zz0=zz
0:En particulier, siz06= 0, alors(
zz 0) =z z0et pour tout2R,z=z.Propriete 3
Preuve.On le montre par un calcul direct pour le produit. Le quotient s'en deduit alors directement.Soitz2C. Alors:
(1)Re(z) =z+z 2 (2)Im(z) =zz2i(3)z2R,z=z(4)z2iR,z=z:Propriete 4
Exemple.Soitz=a+ib2Ctel quea2+b2= 1.
1.Mon trerque z=1z
2.En d eduirequ esi z6= 1, alors1+z1z2iR.
1.3 Module d'un nombre complexe
Denition.Soitz=a+ib2C. On appellemoduledezle nombre reel positif notejzjet deni par : jzj=pa2+b2:Remarque.Le module prolonge naturellement la notation de valeur, c'est a dire que le module d'un nombre
reel est egal a sa valeur absolue.Soitz;z02C. Alors: (1)jzj= 0,z= 0 ; (2)jRe(z)j jzjetjIm(z)j jzj; (3)jzj=jzj; (4)jzz0j=jzjjz0j, et siz06= 0,jzz0j=jzjjz0j.Propriete 5
Preuve.
Pourz2C,zz=jzj2. Ainsi siz6= 0,y=z
jzj2verieyz=zy= 1. On l'appelle inverse dez.Propriete 6 Preuve.On ecritz=a+ib, avec (a;b)2R2. Alorszz= (a+ib)(aib) =a2+b2=jzj2. Le reste s'en deduit aisement. 3PCSI5Lycee Saint Louis, ParisPour toutz1;z22C,
jjz1j jz2jj jz1+z2j jz1j+jz2j En particulier,jz1+z2j=jz1j+jz2j ,z2= 0 ou92R+; z1=z2, c'est a dire que les points O;M1(z1) etM2(z2) sont alignes sur une m^eme demi-droite d'origineO.Propriete 7(inegalite triangulaire)Preuve.Demontrons la premiere inegalite triangulaire. On a, avec la proposition precedente,
jz1+z2j2= (z1+z2)(z1+z2) =z1z
1+z1z 2+z2z 1+z2z2=jz1j2+z1z
2+z 1z2+jz2j2
=jz1j2+ 2<(z1z2) +jz2j2 jz1j2+ 2j<(z1z
2)j+jz2j2 jz1j2+ 2jz1z
2j+jz2j2
jz1j2+ 2jz1j jz2j+jz2j2 jz1j2+ 2jz1j jz2j+jz2j2= (jz1j+jz2j)2:
Ainsi, comme la fonction racine carree est croissante, on obtientjz1+z2j jz1j+jz2j. Pour la deuxieme inegalite triangulaire, il faut montrer quejz1z2j jz1j jz2j jz1z2j. L'inegalite de gauche equivaut ajz2j jz1z2j+jz1jc'est-a-direjz1+ (z2z1)j jz1j+jz2z1j. Cette inegaliteest vraie par la proposition precedente. L'inegalite de droite equivaut ajz1j jz1z2j+jz2jc'est-e-dire
jz2+(z1z2)j jz2j+jz1z2j, qui est aussi vraie par la proposition precedente. On a donc le resultat souhaite.
Supposons avoir egalite :jz1+z2j=jz1j+jz2j. On a donc egalite partout dans les inegalites precedente, et
Re(z1z
2) =jRe(z1z
2)j=jz1z
2j. Ainsi,Re(z1z
2)2R+etRe(z1z
2)2=jz1z
2j2=Re(z1z
2)2+Im(z1z
2)2donc
Im(z1z
2) = 0. Finalement, le nombrez1z
2est donc un reel positifet son conjuguez2z
1aussi. Siz16= 0, alors
z2=z2z1z
1jz1j2=jz1j2z1, donc en posant=jz1j22R+,z2=z1.
Reciproquement, siz1= 0 ou siz2=z1avec2R+, on verie facilement qu'on a egalite.Interpretation geometrique du module.
Dans le plan complexe, si on noteM(z) ou~v(z), alorsjzjrepresente la distanceOMou la norme du vecteur~v.
SiM0(z0) designe un autre point,jz0zjrepresentera la distanceMM0.L'inegalite triangulaire peut s'interpreter geometriquement de la maniere suivante : sizetz0representent les
axes de deux vecteurs~uet~u0alors :jj~u+~u0jj jj~ujj+jj~u0jj.x~ iy j0~u~u0~u+~u0Le cas d'egalite dans l'inegalite triangulaire correspond au cas ou les vecteurs~uet~u0sont colineaires de m^eme
sens.Soit!2Cetr2R+.
?L'ensemble des pointsM(z) du plan tels quejz!j=rest le cercle de centre!et de rayonr. ?L'ensemble des pointsM(z) du plan tels quejz!j< r(resp.jz!j r) est le disque ouvert (resp. ferme) de centre!et de rayonr. disque ouvert (c'est a dire ne contenant pas les points du cercle) contrairement au disque ferme. 4PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
2 Nombres complexes de module 1 et trigonometrie
2.1 Nombres complexes de module 1
Denition.On appellecercle trigonometriqueet on noteUl'ensemble des nombres complexes de module 1 :U=fz2C=jzj= 1g:Remarque.z2U,z=1z
Denition.Siest un reel, on noteeile nombre complexe deni parei= cos+isinExemples. ?e2i= 1,ei=1. ?ei2 =i,ei2 =i.(1)P ourtout 2R,eiappartient aU. (2) T outnom brec omplexede mo dule1 p euts' ecrireeiou2RAinsiU=fei;2Rg.Propriete 8
Remarque.Le reelest de plus unique si on impose2[0;2[ ou2[;[.Preuve.
(1) Soit 2R, alorsjeij2= cos2+ sin2= 1. Ainsijeij= 1 etfei;2Rg U. (2) R eciproquement,soit z2U. On ecritzsous la formea+ibavec (a;b)2R2. Commejzj= 1,a2+b2= 1. On a alorsa21, donca2[1;1]. Or, pour toutx2[1;1], il existe (un unique)t2[0;] tel que x=cos(t) (t= arccos(x)). On en deduit queb2= 1a2= 1cos2t= sin2tdoncb=sint. Commet2[0;], sint0. Si b0,b= sint, et on pose=t, de sorte quez= cost+isint=eit. Sinon on pose=tet z=a+ib= costisint= cos+isin=ei. On a doncU fei;2Rg.Ainsi,U=fei;2Rg.(1)82R;e
i=ei (2)8(;0)2R2; eiei0=ei(+0) (3)82R; ei=1e i (4)8(;)2R2;ei=ei()[2].Propriete 9Preuve.
(1)P ourtout r eel, on a :e
i=cos+isin= cosisin= cos+isin=ei. 5PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
(2)Consid eronsdeux r eelset0. On a:
e iei0= (cos+isin)(cos0+isin0) = (coscos0sinsin0) +i(cossin0+ sincos0) = cos(+0) +isin(+0) =ei(+0): (3)On en d eduitque eiei=ei0= 1, doncei=1e
i. (4) L' egaliteei=eiequivaut eei()= 1. Celle-ci a lieu si et seulement si cos() = 1 et sin() = 0, ce qui revient e dire queest un multiple entier en 2.Exemple.Exprimer a l'aide de radicaux cos(12
) et sin(12 ) en notant que12 =pi3 4On a d'apres la remarque suggeree :
exp(i=12) = exp(i=3i=4) = exp(i=3)exp(i=4):Il en resulte que :
cos(=12) +isin(=12) = 12 +ip3 2 p2 2 ip2 2 =p3 + 1 2 p2 +ip312 p2Par identication, on en deduit :
cos(=12) =p3 + 1 2 p2 et sin(=12) =p312 p2 :82R, cos=ei+ei2et sin=eiei2iPropriete 10(Formules d'Euler)Preuve.Ces formules sont evidentes a partir de la denition deei.Pour2Retn2Z, (ei)n=einou encore par denition deei:
(cos+isin)n= cosn+isinnPropriete 11(Formule de Moivre)Preuve.Montrons par recurrence surn2Nla proprieteP(n) : \(ei)n=ein".
On a (ei)0= 1 =ei0doncP(0) est vraie.
Soitn2Ntel queP(n) soit vraie. Alors (ei)n+1= (ei)nei=einei(par hypothese de recurrence) =ei(n+1).Ainsi,P(n+ 1) est vraie.
En conclusion, pour toutn2N,P(n) est vraie.
Pourn2ZnN,ein=1e
in=1(ei)n= (ei)n.2.2 Application a la trigonometrie
2.2.1 Linearisation des puissances de cosinus et sinus
IPour lineariser une expression trigonometriquecoskxsinlx(en combinaison lineaire de termes encos(x) ousin(x)), on procede comme suit : (1) On utilise les formules d'Euler p ourchanger cosxetsinxen termes aveceixeteix. (2) On d eveloppec ompletement,ave cle bin^ omede Newton. (3) On r egroupeles termes deux adeux c onjuguesp ourr econna^tredes cos(x)ousin(x).Exemples.Lineariser cos5(x) et cos2(x)sin3(x).
6PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
2.2.2 Factorisation par l'angle de l'arc moitie
IPour factoriser une expression du typeei+ei0, on pensera a factoriser par l'angle moitie, c'est a dire par
e i+02 )et a utiliser ensuite la formule d'Euler.Exemples.Factoriser les expressions suivantes :
?pourt2R, 1 +eit; ?pourp;q2R, cos(p) + cos(q).2.2.3 Calculs de sommes de cosinus et sinus
ILes nombres complexes sont utiles pour le calcul de sommes de cosinus on sinus car mieux vaut considerer
des sommes avecexp(i)qu'aveccos()ousin()isolement.Exemple.Calculer les sommesnP
k=0cos(kt) etnP k=0sin(kt) Pourx2Rnon congru a 0 modulo 2,eix6= 1 donc on a : n X k=0cos(kx) +inX k=0sin(kx) =nX k=0e ikx=nX k=0(eix)k(par la formule de Moivre) ix=2(eix=2eix=2) =eixn=22isin(n+1)x22isinx2
=eixn=2sin(n+1)x2 sin x2 D'ou nX k=0cos(kx) =Re(eixn=2)sin(n+1)x2 sin x2 = cos(xn=2)sin(n+1)x2 sin x2 etnX k=0sin(kx) =Im(eixn=2)sin(n+1)x2 sin x2 sin(xn=2)sin(n+1)x2 sin x22.2.4 Polyn^omes de Tchebichev
IPour transformer cos(nx) ou sin(nx) en un polyn^ome encosou ensin, on procede comme suit : (1) On ecritcos(nx) =Re(eix)n=Re((cosx+isinx)n)gr^ace a la formule de Moivre. (2)On d eveloppeave cle bin^ omede Newton.
(3) On ne gar deque la p artier eelle(ou imaginair edans le c asd'un sinus).Exemple.Exprimer cos(6x) en fonction de cos(x).
Pourx2R, on a On a
cos(6x) =Re(e6ix) =Re((cosx+isinx)6) =Re(cos6(x) + 6icos5xsin(x)15cos4(x)sin2(x)20icos3(x)sin3(x) + 15cos2(x)sin4(x) + 6icos(x)sin5(x)sin6(x)) = cos6(x)15cos4(x)(1cos2(x)) + 15cos2(x)(1cos2(x))2(1cos2(x))3
= cos6(x)15cos4(x) + 15cos6(x) + 15cos2(x)30cos4(x) + 15cos6(x)
1 + 3cos2(x)3cos4(x) + cos6(x)
= 32cos6(x)48cos4(x) + 18cos2(x)1
7PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
3 Forme trigonometrique, argumentSoitz2C, alors il existe (r;)2R+Rtel quez=rei.r=jzjetest unique modulo 2.Propriete 12(Forme polaire ou trigonometrique)Preuve.Existence :Commez6= 0, on peut poserz1=zjzj. Commejz1j= 1, il existe2Rtel quez1=ei.
Ainsiz=reiavecr=jzj.
Unicite :Si on a (r;r0;;0)2R+R+RRtel quez=rei=r0ei0, alorsr=jzj=r0, puisei=ei0 donc0[2]. Denition.On appelleargumentdez2Ctout reeltel quezjzj=ei. On le note arg(z).Remarques. ?Le nombren'est pas unique. ?Si0est un argument dez2C, tous les arguments dezsont de la forme+ 2k,k2Z. ?Si on impose2[0;2[ ou2[;[,est unique. ?z=z0()jzj=jz0j arg(z)arg(z0) [2] Interpretation geometrique.Dans le plan complexe, si on noteM(z), alorsArg(z) represente une mesure de l'angle oriente ( ~i;!OM).Et de la m^eme facon, siM0(z0) designe un autre point,Arg(z0z) representera une mesure de l'angle oriente
~i;!MM0).Lemme.Siz1=r1ei1etz2=r2ei2, alors :
z1z2=r1r2ei(1+2)1z
1=1r1ei1z2z
1=r2r1ei(21):(1)8z2C, arg(z)arg(z) [2] ;
(2)Si zetz02C, arg(zz0)arg(z) + arg(z0) [2] ;
(3)Si zetz02C, argzz
0arg(z)arg(z0) [2] ;
(4)Si z2Cetn2Z, arg(zn)narg(z) [2] ;
(5)Si z2C, arg(z)+ arg(z) [2].Propriete 13
Soitz2C. On a:
(1)z2R,Arg(z) = 0 [] (2)z2R+,Arg(z) = 0 [2] (3)z2iR,Arg(z) =2 []Propriete 14 Exemples.Ecrire les formes trigonometriques des nombres complexes suivants : 8PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
?z=aei=( aeisia >0 (a)ei(+)sia <0 ?Pour2];[,z= 1 +ei= 2cos(=2)ei=2avec cos(=2)>0. ?Pour2]0;2[,z= 1ei= 2isin(=2)ei=2= 2sin(=2)ei(+)=2avec sin(=2)>0.Calculer (1 +i)1515. (15154
= 378+34 )Si (a;b)2R2nf(0;0)g, il existe (A;!)2R+Rtel que pour toutt2R,acost+bsint=Acos(t!).Propriete 15Preuve.Pourt2R, on a
acost+bsint=aeit+eit2 +beiteit2i=aib2 eit+a+ib2 eit:Notonsz=a+ib2
6= 0 etz=rei!sa forme polaire (avecr2R+et!2R), alors
acos(t) +bsint=ze it+zeit=rei!eit+rei!eit=r(ei(t!)+ei(t!)) = 2rcos(t!) et on a le resultat voulu en posantA= 2r. Remarque.Une telle fonctiont7!acost+bsintest appelee signal sinusodal. Physiquement, le reelArepresente son amplitude, et!sa phase. Comme vu dans la preuve, l'amplitude est le module dea+ibet la
phase son argument. 4Equations algebriques dansC
4.1 Racines carrees d'un nombre complexe
Denition.On appelle racine carree d'un nombre complexeztout nombre complexeuveriantu2=z.Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrees opposees.Propriete 16
Preuve.On ecritzsous la formereiet on cherche une racine carreeudezsous la formesei, avec (r;s)2R+et (;)2R2.
Alorsu2=zsi et seulement sis2e2i=reisi et seulement si s2=ret 2[2]
si et seulement si s=pret2 si et seulement si u=pre i=2ouu=pre i(=2+)=pre i=2 . On a donc le resultat voulu. Remarque.La notationpest reservee aux nombres reels positifs.IPour determiner l'ecriture algebrique des racines carrees d'un nombre complexe, on procedera comme suit
: on cherche les racines dez=a+ibsous la formeu=x+iy. L'equationu2=zdonne le systemex2y2=a2xy=ben identiant parties reelle et imaginaire. On pensera systematiquement a ajoute l'equation
juj2=jzj ,x2+y2=pa2+b2pour trouver les valeurs dex2ety2. On prend ensuite les racines carrees, en
faisant attention aux signes relatifs dexety, donne par l'equation2xy=b.Exemples.Determiner les racines carrees de 1 +i.
9PCSI5Lycee Saint Louis, Paris
On les cherche sous la formeu=x+iy. On a doncu2= 1+i. On ax2y2= 1 et 2xy= 1. On ajoute l'equation x2+y2=juj2=j1 +ij=p2 pour avoir le systeme
x2y2= 1 x2+y2=p2
donc les solutions sontx2=1+p2 2 et y2=p212
. Comme 2xy= 1>0, on axetyde m^eme signe, nalement les racines carrees de 1 +isont 0 @s1 + p2 2 +isp212 1 A 4.2Equation du second degre a coecients complexesSoitaz2+bz+c= 0 une equation d'inconnuez2Ca coecients (a;b;c)2C3aveca6= 0.
On appelle discriminant de l'equation et on note le nombreb24ac. ?Si = 0, l'equation a une unique solution, appelee racine double,b2a.?Si 6= 0, l'equation a deux solutions,b2a, ouest une racine carree de .Propriete 17(Resolution de l'equation du second degre)Preuve.Pourz2C, on aaz2+bz+c=az+b2a