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Fonctions holomorphes

Mag354 { Magistere de Maths (L3)

Universite Paris-Saclay D. Hulin 2022{23

2D. H. M354Bibliographie

Il y a abondance de belles references d'introduction a l'analyse complexe. On peut citer entre autres les textes suivants :

RudinReal and complex analysis

(ou sa traduction francaiseAnalyse reelle et complexe)

Freitag BusamComplex analysis

RemmertTheory of complex functions

ConwayFunctions of one complex variables I

LangComplex analysis

CartanTheorie elementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes ou encore

NeedhamVisual complex analysis

pour aborder l'analyse complexe elementaire par son aspect le plus geometrique. Completons cette bibliographie succinte par quelques ouvrages (bien) plus avances pour approfondir l'etude des fonctions d'une variable complexe :

ConwayFunctions of one complex variables II

RemmertClassical topics in complex functions theory

SegalNine introductions in complex analysis

AudinUn cours sur les fonctions speciales

apercevoir quelques uns des prolongements de cette theorie

ReyssatQuelques aspects des surfaces de Riemann

Jarnicki P

ugInvariant distances and metrics in complex analysis

AhlforsLectures on quasiconformal mappings

ou encore s'aventurer dans le domaine des fonctions de plusieurs variables complexes RangeHolomorphic functions and integral representations in several complex variables HormanderAn introduction to complex analysis in several complex variables 3

Introduction

Dans ce cours, il va ^etre question de fonctions de variable complexe, par oppo- sition aux fonctions de variable reelle. Nous etudierons les fonctions holomorphes, a qui on demande simplement d'^etre \derivables" en chaque point de leur ouvert de denition. La theorie des fonctions holomorphes a pris son essor au 19eme siecle. Les trois noms de mathematiciens qui viennent immediatement a l'esprit lorsqu'on evoque les fonctions holomorphes sont ceux de : Cauchy (1789-1857) representation integrale Analyse Riemann (1826-1866) applications conformes Geometrie

Weierstrass (1815-1897) series entieres Algebre

chacun etant associe a un point de vue dierent. L'interaction, fascinante, de ces trois points de vue fait la richesse et la beaute de ce sujet.

Cauchy, Riemann et Weierstrass

A priori, la condition d'holomorphie est tres rigide. Prenons pour exemple le theoreme de Liouville qui arme qu'une fonction holomorphef:C!C, si elle est bornee, est automatiquement constante! Cependant, la theorie abonde en theoremes profonds, qui ont des applications ou des prolongements dans d'innombrables domaines des mathematiques, de la geometrie a la theorie des nombres. Le point de vue geometrique ne sera qu'eeure dans ce cours. Si le temps le permet, nous traiterons cependant le theoreme de representation conforme, au chapitre 13.

Table des matieres

1 Fonctions holomorphes 7

A Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 A.1 LaC-derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 A.2 Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A.3 Representations graphiques de fonctions holomorphes . . . . 10 B Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Exponentielle complexe; logarithmes 14

A La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 B Logarithme(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 C Determinations du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 C.1 La determination principale du logarithme . . . . . . . . . . . 20 C.2 Autres determinations du logarithme . . . . . . . . . . . . . . 21
D Racinesk-iemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 E Fonctions trigonometriques et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 23

3 La formule de Cauchy dans un disque 24

A Integrale d'une fonction sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A.2 Operations sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A.3 Estimation de l'integrale sur un chemin . . . . . . . . . . . . 28
B Formule integrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
C Analyticite des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Premieres consequences de l'analyticite 35

A Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B Primitives sur un ouvert etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C Le theoreme de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
D Primitives sur un ouvert quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
E Logarithmes et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
F Holomorphie etC-derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

5 Derivees d'une fonction holomorphe 44

A Estimees de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B Estimees de Cauchy uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.1 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.2 Holomorphie sous le signe integrale . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 5

6 Etude locale d'une fonction holomorphe 51

A Petits rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B Principe des zeros isoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C Theoreme de l'application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
C.1 Le cas reel (pour memoire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
C.2 Modele local pour une fonction holomorphe . . . . . . . . . . 56
C.3 Le cas holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Variations sur la formule de Cauchy 59

A Indice d'un lacet par rapport a un point . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B Formules de Cauchy dans un ouvert etoile . . . . . . . . . . . . . . . 61
C Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
C.1 Formule de Cauchy dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . 63
C.2 Decomposition de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
C.3 Developpement de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Formule des residus 68

A Singularites isolees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B Formule des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C Fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C.1 Compter les zeros et les p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.2 Series de fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Automorphismes 79

A Automorphismes deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 B Automorphismes du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
C La sphere de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C.1 Compactication deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 C.2 Structure complexe surS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 C.3 Fonctions denies au voisinage de l'inni dansC. . . . . . .86 C.4 Automorphismes de la sphere de Riemann . . . . . . . . . . . 87

10 Produits innis 89

A Prescrire les zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . 89
B Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
C Fonction holomorphe avec zeros prescrits . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11 Fonctions elliptiques 96

A De quoi s'agit-il? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B Proprietes des fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C La fonction}de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 D Le corps des fonctions meromorphes surC=L. . . . . . . . . . . . .106 E Equation fonctionnelle pour}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 F Lien avec les integrales elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

G Courbes elliptiques comme cubiques de P

2C. . . . . . . . . . . . . .110

6D. H. M354

12 Formule de Cauchy homologique 114

A Lacets homologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B Theoreme et formule de Cauchy homologiques . . . . . . . . . . . . . 115
C De nouveau le theoreme des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
D Espaces simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

13 Le theoreme de l'application conforme de Riemann 124

A Retour sur l'uniformisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Familles normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C Preuve du theoreme de l'application conforme . . . . . . . . . . . . . 129

1.Fonctionsholomorphes

On presente les protagonistes : fonctions holomorphes et fonctions analytiques. On demontrera bient^ot que ce sont deux avatars d'un m^eme personnage. A

F onctionsholomorphes

A.1

La C-derivabilite

Dans tout le cours,UCdesignera un ouvert deC.

Denition 1.1Soitf:UC!C. On dit quefestC-derivable au pointz02U lorsqu'il existe un nombre complexe2Ctel que lim h!0f(z0+h)f(z0)h On note alorsf0(z0) =: c'est la derivee (au sens complexe) defenz0. Dans cette denition, l'accroissementhprend des valeurs complexes. De facon equivalente, la fonctionfestC-derivable enz0avecf0(z0) =si et seulement si f(z0+h) =f(z0) +h+o(h):() La notation de Landauo(h) signie quejo(h)j=jhj !0 lorsqueh!0.

Une fonction holomorphe esta fortioricontinue.

Exercice 1.2Montrer que la fonctionz7!zestC-derivable surC, de derivee constante egale a 1, mais que la fonctionz7!zn'estC-derivable en aucun point. L'espace vectoriel complexeC, de dimension 1, est naturellement unR- espace vectoriel de dimension 2. L'applicationh2C'R27!h2C'R2, qui estC-lineaire, esta fortioriR-lineaire. On identieC'R2par l'application (x;y)2R27!x+iy2C. La condition () exprime que l'applicationf:UC'R2!C'R2est R-dierentiable enz0, avec une dierentielle tres specique qui se lit : D z0f:h2C'R27!h2C'R2: Prenons le temps d'etudier soigneusement cette condition. 7

8D. H. M354

A travers l'identicationC'R2, notre applicationf=P+iQ:UC!C (ouPetQsont les parties reelle et imaginaire def) se lit~f:UR2!C ou encore ~~f= (P;Q) :UR2!R2, avec f(x;y) =f(x+iy) et~~f(x;y) = (P(x+iy);Q(x+iy)). Notation 1.3On noteraf0la derivee complexe def, ainsi que~fx=@~f@x et~fy=@~f@y les derivees partielles de~fpar rapport aux coordonneesxety, lorsque celles-ci sont denies. Rappel 1.4DansR2euclidien, un element du groupe lineaireGL(R2;R2) est une similitude directe si, et seulement si, il s'ecrit comme produit d'une rotation et d'une homothetie de rapport non nul. C'est le cas si, et seulement si, il conserve les angles et l'orientation. Proposition 1.5MunissonsC'R2de sa structure euclidienne canonique.

Les conditions suivantes sont equivalentes :

1.f:UC!CestC-derivable enz0;

2. ~f:UR2!CestR-dierentiable enz0, avec~fy(z0) =i~fx(z0); dans ce cas, on a l'egalitef0(z0) =~fx(z0); 3. ~~f:UR2!R2estR-dierentiable enz0et sa dierentielleDz0~~f2 L R(R2;R2)est nulle, ou bien est une similitude directe. Dans ce cas, sa matrice jacobienne s'ecritJz0~~f=ab b a ouf0(z0) =a+ib. PreuveOn a vu quefestC-derivable enz0ssi~festR-dierentiable en z

0et si il existe=a+ib2Ctel que, pourh=x+iy, on ait

D z0~f:(x+iy) =(x+iy) =x+ (i)y= (axby) +i(bx+ay): Par la suite, on aura rarement besoin de distinguerfde ses alter ego~~fou~f! On obtient, comme consequence immediate de la proposition 1.5(3), le critere bien utile suivant.

Corollaire 1.6Equations de Cauchy-Riemann

Soitf=P+iQ:UC!C. AlorsfestC-derivable enz0si et seulement siPetQ(parties reelle et imaginaire def) sontR-dierentiables enz0 avec, en ce point : @P@x =@Q@y et@P@y =@Q@x

Fonctions holomorphes9

A.2

Holomorphie

Denition 1.7Une fonctionf:UC!Cest holomorphe si elle est C-derivable en chaque point deU, et si sa deriveef0:U!Cest continue. Les fonctions holomorphes sont donc les fonctions contin^ument derivables,

au sens complexe, sur tout leur domaine de denition.La denition ci-dessus est redondante, mais elle nous permettra d'obtenir

rapidement l'analyticite des fonctions holomorphes. On a en eet le resultat suivant (dont on peut se passer en premiere lecture). Theoreme 4.18 :Soitf:U!C, que l'on supposeC-derivable en chaque point deU. Alors sa deriveef0:U!Cest continue! Une fonctionf:U!Cest donc holomorphe si et seulement si elle est C-derivable en chaque point. La deuxieme condition dans la denition 1.7 de l'holomorphie (continuite de la derivee) est nalement super ue. Proposition 1.8{ L'ensembleH(U)des fonctions holomorphes surU constitue une algebre unitaire : c'est un espace vectoriel (H(U)est stable par addition, et par multiplication par un scalaire), le produit de deux fonctions holomorphes est holomorphe; la fonction constante egale a1est holomorphe. { Sif2 H(U)et ne s'y annule pas,1=f2 H(U). { Si les fonctionsf:U!Vetg:V!Csont holomorphes, la composee gf:U!Cest holomorphe. PreuveImmediate, avec les expressions \habituelles" pour les derivees.

En particulier, (fg)0= (f0g)g0et (1=f)0=f0=f2.

Exemple 1.9{ Une fonction polynomialez7!Pk

0anznest holomorphe.

{ La fonctionz7!1=zest holomorphe surC. { Plus generalement une fraction rationnelleP=Q, avecP;Q2C[X], est holomorphe en dehors des zeros deQ. { Par contre une fonctionx+iy2C7!P(x;y)2CpourP2C[X;Y] ne sera en general pas holomorphe. Par exemple, les fonctionsz7!zet z7!Rezne sontC-derivables en aucun point.

Proposition 1.10SoitUCun ouvert connexe.

Une fonction holomorphef2 H(U)est constante si et seulement sif0= 0.

Preuve)Immediat.

(Appliquer le theoreme des accroissements nis a la fonction de variable reelle~~f:UR2!R2associee af, qui est de dierentielle nulle surU.

10D. H. M354

A.3 Repr esentationsgraphiques de fonctions holomorph es Il n'est pas facile de representer graphiquement une fonction holomorphe, son graphe vivant dansC2R4! On peut tourner la diculte des deux facons suivantes. On peut dessiner l'image parfd'un quadrillage regulier de son domaine de denition. Rappelons que la dierentielle de~~f, en un point oufestC-derivable de derivee non nulle, est une similitude. Lorsque l'applicationf:U!Cest C-derivable au pointz0, avecf0(z0)6= 0, les images parfde deux courbes regulieres se coupant a angle droit enz0sont donc egalement deux courbes se coupant a angle droit enf(z0). Lorsquefest holomorphe surU, cette propriete a lieu en tout point ouf06= 0 :fest une application conforme. Ici les images parz7!z(pour comprendre le modele), puis parz7!z2ou parz7!sin(z), de droitesx=cste(en bleu clair) ety=cste(en bleu fonce) au voisinage de l'origine. Ces images se coupent a angles droits. On peut dessiner le \paysage analytique" de la fonction holomorphe f:U!C, qui est le graphe de son modulejfj:U!R. L'ordinateur, ici avec le logiciel Maple, peut m^eme ajouter des couleurs a ce graphe pour indiquer l'argument argf(deni modulo 2). Les paysages analytiques dez7!z2,z7!coszetz7!secz= 1=cosz, au voisinage de l'origine. La fonction cosz= (eiz+eiz)=2 sera introduite au chapitre 2.

Series entieres11

B

S eriesen tieres

On etudie maintenant une famille d'exemples fondamentaux qui englobe les fonctions polynomiales, et dont nous verrons bient^ot que ce sont des modeles locaux pour toutes les fonctions holomorphes (theoreme 3.18). Il s'agit des sommes de series entieres convergentes. Soient (an)n2Nune suite de nombres complexes, et la \serie entiere" (formelle) associeeP n2Nanzn. Denition 1.11Le rayon de convergence de la serie entiere est

R:= supfr0;janjrnest borneg 2[0;1]:

Rappelons le resultat fondamental suivant, qui doit ^etre connu ainsi que sa demonstration. Proposition 1.12{ On a1=R= limsupjanj1=n. De plus, si les(an)ne s'annulent pas a partir d'un certain rang, on a1=Rlimsupan+1a n. { Pour tout0r < R, la serieP n2Nanznconverge normalement sur le disque fermeD(0;r) =fz2C;jzj rg. { Pourjzj> R, la serieP n2Nanznne converge pas. Il se peut que la serie entiere ait un rayon de convergence nul : prendre par exemplean=nn. Denition 1.13Le disque ouvertD(0;R)est appele disque de convergence de la serie entiere. Proposition 1.14Supposons le rayon de convergenceR >0strictement positif. On denitf(z) =P n2Nanznpourjzj< R. (1)Le rayon de convergence de la serie deriveeP n2Nnanzn1estR. (2)La fonctionfest holomorphe surD(0;R), et on a pourjzj< R, f

0(z) =X

n2Nna nzn1: sur son disque de convergence, la serie entiere se derive terme a terme.

PreuveL'assertion sur le rayon de convergence

decoule de la proposition precedente. La continuite def0surD(0;R) resultera de son expression comme somme d'une serie entiere convergente.

Soitz2D(0;R) : on va montrer quefestC-derivable

enz, et calculer sa deriveef0(z). Comme on ne veut pas trop s'approcher du bord du disque de convergence (attention, danger!), on choisitrtel quejzj< r < R.

Pourh2Ctel quejzj+jhj< r, on aura donc :z

D(0,r)

D(0,R)

12D. H. M354

f(z+h)f(z)h 1X 0na nzn1=1X 1a n(z+h)nznh nzn1 1X 2a nvn(h): Anxe,vn(h)!0 lorsqueh!0. Il faut en deduire que la somme de la seriePanvn(h) tend vers 0 lorsqueh!0. Pour cela, on cherche a majorer uniformement lesanvn(h) par le terme general d'une serie convergente : le resultat suivra. Or l'identite X nYn= (XY)(Xn1++Yn1) montre que v n(h) = (z+h)n1+ (z+h)n2z++zn1nzn1: On a donc, uniformement enhtel quejzj+jhj< r,janvn(h)j 2njanjrn1: majoration par le terme general d'une serie convergente, c'est gagne. Corollaire 1.15La sommef:z7!Panznde la serie entiere admet des derivees (au sens complexe) de tous ordres sur son disque de convergence, qui sont toutes developpables en serie entiere surD(0;R)et qui s'obtiennent en derivant la serie terme a terme. On a en particulier l'egalitean=f(n)(0)=n!pour toutn2N. Corollaire 1.16Unicite du developpement en serie entiere

Sif:D(0;R)!Cest somme de la serie entiereP

n2Nanzn, cette serie est la serie de Taylor defen0. Cquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44