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Elle est orientée dans le sens du vecteur champ c'est à dire du pôle nord vers le pôle sud, à l'extérieur de l'aimant Les lignes de champ magnétique se ferment

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Le vecteur M est orienté Sud-Nord Exemples : – le moment dipolaire d'une spire de rayon 5 cm parcourue par un courant d'intensité égale à 1A

Chapitre 7

Champ et potentiel-vecteur

7.1 Introduction

lors qu'un tel champ puisse ^etre produit par un courant de charges dans un conducteur, mais ²Entre deux aimants; on se rappellera qu'unp^ole Nordet unp^ole Suds'attirent et que deux

²Entre deux courants.2

1 153
de cet aimant

3(¯gure 7.1).

Figure 7.1

enfonce avec sa main droite un tire-bouchon ou une vis avec un tournevis (¯gure 7.2).

Figure 7.2

F=q¡!v^¡!B

(7.1) 3 diculaire au champ prend un mouvement circulaire uniforme avec un rayon proportionnel µa la compense exactement la force de Lorentz. On a alors

E=¡¡!v^¡!B(7.2)

potentielV+¡V¡, ici positive, ditetension de Hall. La mesure de cette tension permet notam- 5. On I e SS E

Figure 7.3

connue ¡!|(M). Il s'agira principalement de courants circulant dans des conducteurs, mais les

7.2 Loi de Biot et Savart

4 courant passant µa traversdSest simplement6 dI=J(P)dS(7.3) dI

¡!d`=¡!J(P)dSd`=¡!J(P)d¿

(7.4) oµu : ¡!d`est de longueurd`et a m^eme orientation que¡!J(P); d l d S

Figure 7.4

D'aprµes laloi de Biot et Savart, le circuit entier produit en un pointMquelconque le champ

B(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P)^¡!PM

3d¿

(7.5) M P d ld B J

Figure 7.5

7 6

0= 4¼10¡7S:I:(7.6)

de courant est (¯gure 7.5) d

¡!B(P;M) =¹0

4¼¡!

J(P)^¡!PM

3d¿(7.7)

Si l'une des deux dimensions transversales du circuit est trµes petite devant toutes les autres lon-

8. Envisageons

que le produit J s(P) =² J(P) (7.8) Jd L d l d S d S

Figure 7.6

J d¿=¡!J

s(P)dLd`=¡!J s(P)d§ (7.9) en un pointMs'exprime naturellement comme

B(M) =¹0

4¼Z

J s(P)^¡!PM PM

3d§

(7.10)

J(P)d¿=I¡!d`(P)

(7.11) 8

On dit aussinappe de courant.

pointMpar un tel circuit prend la forme

B(M) =¹0

4¼Z

CI¡!d`(P)^¡!PM

PM 3 (7.12) PM d B

Figure 7.7

l'examen des dimensions des grandeurs²0et¹0. On sait d'une part que les produitsQEetQvB sont homogµenes µa une force

10. On a donc, du point de vue dimensionnel

[E] = [vB] (7.13) et comme [E] = [Q

0L2];[B] = [¹0I

L ];[I] = [Q T ] (7.14) il vient 1 1 p

0¹0= 3 108m=s =c(7.16)

oµucest la vitesse de la lumiµere dans le vide... 10

Pour le dernier, voir la force de Lorentz.

La loi de Biot et Savart fait intervenir le produit vectoriel des deux vecteurs polaires

¡!Jet¡!PM

+1. U

0x(M0) =Ux(M); U0y(M0) =¡Uy(M); U0z(M0) =Uz(M) (7.17)

et de m^eme pour les composantes de

¡!V. Comme

W x=UyVz¡UzVy; Wy=UzVx¡Uxvz; Wz=UxVy¡UyVx(7.18) on obtient W

0x(M0) =¡Wx(M); W0y(M0) =Wy(M); W0z(M0) =¡Wz(M) (7.19)

voit que

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

(7.20) M

¡!B(M)¸

= 0 (7.21)

Autrement dit,

est perpendiculaire µa ce plan.

J! ¡¡!J=)¡!B! ¡¡!B(7.22)

·¡!B(M00)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

(7.23) M

¡!B(M)¸

= 0 (7.24) Comme premier exemple d'application de la loi de Biot et Savart, nous considµererons un ¯l Il est manifeste que, quel que soit le pointMoµu l'on veut calculer le champ, le plan contenant le ¯l et le pointMest unP+. Le champ enMest donc orthoradial. Il est tout aussi manifeste

que l'on dispose ici d'une invariance par rotation autour du ¯l et d'une invariance par translation

alors le plan contenant le ¯l et le pointMcomme planxOzet pour origineOla projection deM

sur le ¯l (¯gure 7.8). La composante du champ s'identi¯e alors µa celle parallµelement µaOy. Avec

¡!d`=dz¡!ezet¡!ez^¡!PM=¡!ey½, la formule de Biot et Savart donne iciz'z IOP M razB

Figure 7.8

B(M) =¹0I½

4¼¡!eyZ

¡1dz

3(7.25)

Il vient

dz PM

3=d®cos®

L'angle®variant entre 0 et¼=2, on a donc

Á(½)´By(M) = 2¹0I

4¼½Z

¼=2

0 cos® d®=¹0I

2¼½(7.26)

0Oz), l'orientation du champ sur ces lignes est conforme µa la rµegle du tire-bouchon de Maxwell.

12: z I B z'

Figure 7.9

La circulation de

¡!Ble long d'une ligne de champ vaut

Z 2¼ 0 B

Á(½)½dÁ=¹0I

(7.27)

Le calcul de la divergence du champ

¡!Bsera fait dans le cas d'une distribution volumique de div

M¡!B(M) =¹0

4¼Z

V div M0 @¡!J(P)^¡!PM PM 31
A d¿(7.28) 11 div M0 @¡!J(P)^¡!PM PM 31
A =¡!PM PM PM

3(7.29)

Mais, d'une part,

part, on sait que le vecteur div

¡!B= 0

(7.30) div

¡!E=½

14, le fait que le

existe au moins un champ de vecteurs¡!Atel que

B=¡!rot¡!A

(7.31)

Ce nouveau champ de vecteurs

possible comme suit. Puisque PM PM

3=¡¡!gradM1

PM (7.32) la relation 13 rotM¡!J(P) PM =1 PM PM

¡!J(P)^¡!gradM1

PM =¡!J(P)^¡!PM PM

3(7.33)

4¼¡!rotMZ

V¡!

J(P) PM d¿´¡!B(M) (7.34) Une expressionpossibledu potentiel vecteur est donc

A(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P) PM d¿ (7.35) |µa des nappes de courant :

A(M) =¹0

4¼Z

J s(P) PM d§ (7.36) |ou µa des circuits ¯liformes :

A(M) =¹0

4¼Z

CI¡!d`(P)

PM (7.37)

Cependant, ces derniµeres expressions peuvent ^etre divergentes si l'on considµere des circuits d'ex-

de la relation champ - potentiel vecteur (7.31). ¡!Aest un potentiel vecteur possible, le vecteur

A0=¡!A+¡!gradF(7.38)

oµuFest un champ scalaire arbitraire, convient aussi, puisque le rotationnel d'un gradient est On peut vouloir se limiter µa une certaine classe de potentiels vecteurs en leur imposant une contrainte. On dit alors que l'on fait unchoix de jauge. Dans lajauge de Coulomb, on impose la condition div

¡!A= 0

(7.39)

Insistons sur le fait que (7.39) ne constitue en aucun cas une loi fondamentale : le choix de jauge est

complµetement libre. On note que m^eme dans le cadre de la jauge de Coulomb, le potentiel vecteur premier par un gradient et lui imposant la m^eme jauge, on obtient div

A0= div¡!A+div¡!gradF= ¢F= 0 (7.40)

A(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P) PM d¿ div

M¡!A(M) =¹0

4¼Z

V div

M¡!J(P)

PM d¿(7.41) Mais div

M¡!J(P)

´¡!J(P)¢¡!gradM1

PM (7.42) gradM1 PM =¡¡!gradP1 PM de sorte que

J(P)¢¡!gradP1

´divP¡!J(P)

PM ¡1 PM divP¡!J(P) (7.43) (div div

M¡!A(M) =¹0

4¼Z

V div

P¡!J(P)

PM d¿=¹0

4¼Z

S¡!

J(P)¢¡!dS

PM (7.44) tangent en chaque point et est donc perpendiculaire au¡!dScorrespondant. Par suite, le °ux au second membre est nul et l'on a bien div

M¡!A(M) = 0 (7.45)

A(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P) PM d¿ est lui aussi de nature polaire. Nous imposerons donc aux potentiels vecteurs admissibles d'^etre complµetement de nature polaire. le potentiel vecteur en un point quelconque duP+est contenu dans ce plan; si la distribution possµede unP¡, en chaque point de ce plan le potentiel vecteur lui est perpendiculaire. °ux de son rotationnel¡!Bµa travers une surface quelconque § s'appuyant sur le contour : Z

C¡!A¢¡!d`=Z Z

§¡!B¢¡!d§ (7.46)

teur in¯ni.

potentiel vecteur n'a qu'une seule composante parallµelement au ¯l, soitAz. Compte-tenu du fait

que seule la composanteBÁest non nulle, l'application de la relation champ-potentiel vecteur @A z = 0;@Az =¡BÁ=¡¹0I

2¼½(7.47)

seconde relation conduit µa A z(½;z) =¡¹0I

2¼ln½+f(z) (7.48)

oµuf(z) est une fonctionarbitrairedez. Or, cette fonction de la seule variablezpeut toujours comme la composante suivant l'axe deszdu gradient de cette fonctionF. On constate bien ici div

¡!A´@Az

@z =f0(z) = 0 (7.49) par exemple,Az= 0 pour½=½0. D'oµu l'expression A z(½) =¡¹0I

2¼lnµ½

(7.50) au ¯l. A z=¹0I

4¼Z

¡Ldz

PM =¹0I

2¼Z

L 0dz p z

2+½2=¹0I

2¼lnÃ

L+p L

2+½2

(7.51) En faisant tendreLvers l'in¯ni, on trouve alors A z=¡¹0I

2¼ln½+K(7.52)

oµuKest une constante, ici in¯nie. Cependant, le fait de rajouter une constante au potentiel

vecteur : ses lignes de champ, qui sont ici des droites parallµeles au ¯l, suivent peu ou prou les

Si l'on compare l'expression

A(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P) PM d¿ du potentiel vecteur µa celle

V(M) =1

4¼²0Z

V½(P)

PM d¿

potentiel sont similaires, en mettant µa part le fait que la premiµere est plut^ot de nature vectorielle.

¢V+½

0= 0 courant

¡!A+¹0¡!J= 0

(7.53) Pour terminer ici, notons que d'aprµes la relation champ-potentiel, le potentiel vecteur est ho- W/m. Cependant, du point de vue dimensionnel, on remarque aussi que le potentiel vecteur est ho-

En incorporant les relations

rot¡!A=¡!B ;div¡!A= 0;¢¡!A=¡¹0¡!J rot¡!rot¡!A=¡!grad div¡!A¡¢¡!A rot¡!B=¹0¡!J (7.54) div

¡!J=1

0div¡!rot¡!B= 0 (7.55)

et n'est donc pas en contradiction avec la loi de conservation de la charge, puisque dans le div

¡!J=¡@½

@t 6= 0 Z

C¡!B¢¡!d`=¹0X

kI k (7.56) par rapport au sens de parcours de la courbe. I I C1 2 3

Figure 7.10

lignes de champ de¡!B. Ceci fait, on considµere la circulation du champ le long de la ligne de Z

C(M)¡!B¢¡!d`´Z

C(M)B(P)d`(P) =¹0X

kI k(7.57)

B=¹0

L X kI k(7.58) oµuLest la longueur totale de la ligne de champC(M). On se doute bien que, d'une fa»con le champ. En e®et, la circulation de¡!Ble long de la ligne de champ passant par un pointMµa Z

C(M)¡!B¢¡!d`´Z

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Chapitre 7

Champ et potentiel-vecteur

7.1 Introduction

²Entre deux courants.2

3(¯gure 7.1).

Figure 7.1

Figure 7.2

F=q¡!v^¡!B

E=¡¡!v^¡!B(7.2)

Figure 7.3

7.2 Loi de Biot et Savart

¡!d`=¡!J(P)dSd`=¡!J(P)d¿

Figure 7.4

B(M) =¹0

4¼Z

V¡!

J(P)^¡!PM

3d¿

Figure 7.5

0= 4¼10¡7S:I:(7.6)

¡!B(P;M) =¹0

4¼¡!

J(P)^¡!PM

3d¿(7.7)

8. Envisageons

Figure 7.6

J d¿=¡!J

B(M) =¹0

4¼Z

3d§

J(P)d¿=I¡!d`(P)

On dit aussinappe de courant.

B(M) =¹0

4¼Z

CI¡!d`(P)^¡!PM

Figure 7.7

10. On a donc, du point de vue dimensionnel

0L2];[B] = [¹0I

0¹0= 3 108m=s =c(7.16)

Pour le dernier, voir la force de Lorentz.

¡!Jet¡!PM

0x(M0) =Ux(M); U0y(M0) =¡Uy(M); U0z(M0) =Uz(M) (7.17)

¡!V. Comme

0x(M0) =¡Wx(M); W0y(M0) =Wy(M); W0z(M0) =¡Wz(M) (7.19)

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M)¸

Autrement dit,

J! ¡¡!J=)¡!B! ¡¡!B(7.22)

·¡!B(M00)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M0)¸

¡!B(M)¸

¡!B(M)¸

Figure 7.8

B(M) =¹0I½

4¼¡!eyZ

¡1dz

3(7.25)

Il vient

3=d®cos®

L'angle®variant entre 0 et¼=2, on a donc

Á(½)´By(M) = 2¹0I

4¼½Z

¼=2

2¼½(7.26)

0Oz), l'orientation du champ sur ces lignes est conforme µa la rµegle du tire-bouchon de Maxwell.

Figure 7.9

La circulation de

¡!Ble long d'une ligne de champ vaut

Á(½)½dÁ=¹0I

Le calcul de la divergence du champ

M¡!B(M) =¹0

4¼Z

3(7.29)

Mais, d'une part,

¡!B= 0