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Electromagnetisme - Exercices Induction

1.Chute d'un cadre dans un champ magnetiqueUn cadre rectangulaire de resistanceR

est situe dans un plan vertical. Le cadre est place dans un champ magnetique!B=Bbx constant, uniforme et perpendiculaire au plan du cadre. On prend comme origine du temps le dernier instant ou le cadre est entierement plonge dans le champ magnetique (voir gure). On donne au cadre un mouvement de translation uniforme de vitesse!v= vbzparallele au c^oteAA0=a.t=0 B t>0 BA C

A"C"CA

v z=-v z y a L x I C"A"(a)C alculerla force electromotrice,e(t), dans ce circuit en utilisant la formule generale de la force electromotrice ( Remarque : Il faut separer le tempsten deux intervalles :

0< t < tm=AA0v

ett > tm.) Par la formule generale pour la force electromotrice, nous avons e(t) =Z

S@!B@t

bndS+I C !vl^!B !dl I C !vl^!B !dl(puisque@!B=@t=!0)

Pour les quatre cotes du cadre on a

!vl=vbz Pour chaque portion du cadre immergee dans la region !B=Bbxnous trouvons donc!vl^!B =vB(bz^bx) =vBby Sur les cotesAA0etCC0,!vl^!Best perpendiculaire a!dlmais sur le coteAC;nous avons!dl=dyby 1 donc e(t) =Z L 0 !vl^!B !dl=vBZ L 0 dy=vBL0< t < tm=AA0v =av e(t) = 0t > tm=AA0v (b) Cal culerla force electromotrice,e(t), en utilisant la loi de Faraday pour les circuits materiels de constitution constante :e(t) =ddt . (comparer avec le resultat de (a) Le ux magnetique est (t) =BLz(t) z(t) =avt Donc (t) =BL(avt) ddt =vBL e(t) =ddt =vBL0< t < tm=AA0v =av e(t) = 0t > tm=AA0v On remarque aue la forceelectromotrice deduite avec la loi de Faraday est precisement la m^eme que nous avons trouve en (a) avec l'expression generale de l'induction. (c) Ca lculerl'in tensitedu couran tIdans le cadre pourt >0. Verier que la loi de Lenz est satisfaite.

I(t) =e(t)R

Donc

I(t) =vBLR

0< t < tm=AA0v

I(t) = 0t > tm=AA0v

Le ux magnetique genere parI(t)est positif, donc en accord avec la loi de Lenz, le courant essaie de remplacer le ux magnetique perdu. (d) Cal culerla force !Fa(amplitude et direction) a appliquer pour vaincre les forces magnetiques (i.e. la force appliquee necessaire pour garder la vitesse constante).

La Force de Laplace sur un segment du coteACest :

!dFL=I!dl^!B=IBdy(by^bx) =IBdy(by^bx) =IBdybz La force de Laplace sur les cotesAA0etCC0sont egales et opposees (puisque les!dl sont egales et opposees). Il n'y a pas de Force sur le cote La force de Laplace totale est donc!FL=IBbzZ L 0 dy=IBLbz 2 La force appliquee an de garder la vitesse constante est donc : !Fa=!FL=IBLbz (e) Ca lculerle tra vaild epensep oursortir le cadre du c hamp.Comparer a vecle tra vail obtenu en utilisant le theoreme de Maxwell. W a=Z a

0!Fa!dr=IBLa!dr=dzbz

d =BLvdt

Par le theoreme de Maxwell :

W

L=I =I(fi) =IBLa

Donc :

W a=WL=IBLa (f) Calculer l apuissance dissip eepar eet Joule, P(t) =I2R.

P(t) =I2R=v2B2L2R

2R=v2B2L2R

0< t < tm=AA0v

P(t) = 0t > tm=AA0v

(g) C alculerl' energiedissip eepar eet Joule, Wdisp=Rtm

0P(t)dt. Comparer avec le

travail applique. W disp=Z tm 0

P(t)dt=Z

tm 0

I2Rdt=I2Rtm=I2RAA0v

=IvBLR Rav =IBLa On remarque que l'energie dissipee par joule est egale au travail fournit,Wa, pour sortir le cadre de la region avec!Bnon nulle. 2. C onsideronsle syst emeconstitu ed'un barreau conducteur MNde resistanceR, avec MNperpendiculaire aux rails etMetNglissant sur deux rails paralleles separes par une distancel. Le systeme est place dans un champ uniforme!Ba, perpendiculaire au plan du barreau et des rails. Le circuit est referme avec un conducteur de resistance negligeable aux extremitesOetPdes barreaux, et on considere que la resistance des barreaux est negligeable. Soit!v=vbxla vitesse de deplacement du barreau. (a) C alculerla force electromotrice,e(t), dans le circuit. e(t) =I !vMN^!Ba !dl=Z N M vB(bx^bz)(by)dl=lvB=ddt =ddt (lvtB) ou on a choisi la normale du circuit dans la direction bn=bzet donc courant positif dans la direction contraire aux aiguilles d'une montre. 3 O P lz x v x=v MN B za a=B(b)Cal culerle couran t,I(t), dans le circuit (specier le sens deI).

I(t) =e(t)R

=lvBR Donc le courant circule dans la direction des aiguilles d'une montre autour de l'axe z:(Loi de Lenz) (c)

Ca lculerla force de Laplace sur le barreau.

FL=Z N M d!FL=IZ N M !dl^!B =lvB2R (by^bz)Z l 0 dy =l2vB2R (by^bz) =l2vB2R bx 3. Un long sol enoded era yonacomportantntours par unite de longueur est entoure par un circuit ferme avec une resistanceR(voir la gure). R I i(a)S ile couran tdu sol enodeest en train d'augmen terde fa conconstan t( dI=dt=k), donner l'expression pour le couranti(t) du circuit. Specier le sens (de gauche a droite ou de droite a gauche). On sait que le champ a l'interieur d'un long solenode est constant (d'amplitude

0nI) et oriente le long de l'axe. Selon le sens du courantIdans le dessin, on voit

que le champ applique,!Ba, est oriente le long de l'axe de gauche a droite. Si l'on veut que le ux magnetique,m, soit positif, il faut donc denir le sens deipositif passe a travers la resistance dans le sens du devant vers l'arriere (c.-a-d. dans le sens 4 droite a gauche dans le dessin) m(t) =ZZ!B!dS=a20nI(t) e(t) =ddt m i(t) =eR =a20nddt I Ce courant induit,i, est negatif, ce qui veut dire qu'il circule dans le sens oppose a celui que nous avons choisit au dpart. Donc le courant circule dans le sens de derriere la bobine vers l'avant dans la resistance (c.-a-d. dans le sens gauche a droite dans le dessin). On voit que le champ!Biinduit par ce courant sera dans le sens oppose a l'augmentation du champ applique!Baen accord avec la loi de Lenz. (b) Si main tenanton tien tle couran tdans le l constan t aI0et on retire le solenode en dehors du circuit et on le reinsere dans le sens oppose, quelle charge totale passe a travers la resistance? i(t) =dQdt =eR =1R dmdt ZdQdt dt=1R Z dmdt dt Z dQ=1R Z dm jQj=1R m jmj= 20nI0a2 jQj=1R m=20nI0a2R 5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35