(Champ magnétique) Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud : Le champ ne dépend ni de z ni de la forme de la section transverse du tore
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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Magnétostatique
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
I - Présentation du champ magnétique
1 - Introduction :L"électrostatique
est l"étude des interactions entre particules chargées immobiles.La magnétostatique
est l"étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime indépendant du temps). Certains corps aimantés (comme la magnétite, Fe 3O4) attire le fer.
L"acier, par frottement contre un aimant naturel, acquiert des propriétéséquivalentes.
Des conducteurs parcourus par des courants sont également sources de champs magnétiques.O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
(Ci-contre : lignes du champ magnétiquecréé par un barreau aimanté)Les interactions électriques et magnétiques sont étroitement liées (exemple : phénomène d"induction).Elles représentent deux aspects différents d"une seule propriété de la matière : sa charge électrique.Le magnétisme est une manifestation des charges électriques en mouvement.
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud :O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Champ magnétique terrestre :Il ressemble à celui d"un barreau aimanté incliné. Une aiguille de boussole s"aligne dans la direction du champ, approximativement vers le pôle nord géographique, qui n"est pas très loin du pôle magnétique sud de la Terre.Ce champ s"étend jusqu"à des milliers de kilomètres dans l"espace et possède la symétrie de révolution autour de l"axe du barreau aimanté fictif.
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
NNN SN
N SS S S S NN SN SN S
Dipôles magnétiques :Les fragments d"un barreau aimanté ont toujours deux pôles (un pôle nord et un pôle sud).Un aimant se comporte comme s"il était composé de petites unités bipolaires, appelées
dipôles magnétiquesIl n"existe pas de
monopôles magnétiques (équivalents des charges électriques ponctuelles).O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
N S S NLe champ autour d"une tige aimantée, illustré par un ensemble de petites boussoles. Ce dessin montre
le champ seulement dans un plan.En fait, le champ se trouve dans l"espace à 3 dimensions ; il a une symétrie de révolution autour de
la tige. La photo montre l"alignement de la limaille de fer au voisinage d"une petite tige aimantée.Par convention, le champ d"un aimant sort de son pôle nord et entre par leur pôle sud. La photo ne
permet pas de distinguer le pôle nord du pôle sud.O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
2 - Définition du champ magnétique :On considère une particule ponctuelle q placée au point M. Au voisinage
d"un aimant ou d"un conducteur parcouru par un courant, elle est soumise à la force magnétique : Cette force permet de définir le champ B (par l"intermédiaire de la chargetest q, de la même manière qu"en électrostatique).Unités du champ magnétique :Dans le SI : le Tesla (T)Le Gauss :
Bvqfr r r TG4 101O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Valeurs typiques de champs magnétiques :
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
On choisit un vecteur densité de
courant dirigé selon (Oz), symétrie cylindrique (la norme de j ne dépend que la distance r à l"axe (Oz)).Par exemple :
L"intensité à travers dS est alors :
Et : Exemple 1 : (cylindre infini parcouru par un courant volumique) O x yz M z r zurjjr r zzujRrurjjrrr
0 dSθdrdrrjdSrjdi)()(
R drdrrji 02 0O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Soit :
Si le vecteur j avait été constant
(et égal à j0), alors l"intensité à
travers une section quelconque du cylindre aurait été : O x yz M z r zurjjr r dS R jRdrjRri 002 02322ππ
02jRiO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
3 - Répartition linéique de courant : Les conducteurs de faible section sont assimilés à des fils.
Le courant " linéique » est alors simplement le courant parcouru par le fil. 1tMi 2tMi M 1 M 2Circuit
filiformeLe courant électrique dépend
a priori du temps et du point M.O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
II - La loi de Biot et Savart
Cette loi a été énoncée en 1820 par les physiciens Biot et Savart. Ces physiciens ont notamment déterminé les champs magnétiques créés par les deux circuits suivants : I a a A 1AB r +=2212)(01aIABπμ
I a a A 2AB r ((+=412)( 02 aIAB aO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
1 - Énoncé de la loi de Biot et Savart :On considère un
circuit filiforme fermé (C) parcouru par un courant d"intensité I constante. 20 4)(PMuIdMBd
MPP→
?=r lr r (C) PIM )(MB r )(MBd Pr MP u →rlrd )(20 4)( CMPPMuIdMBr
lr r )1,104(: 2 007 00==O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
2 - Propriétés de symétrie du champ magnétique : On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils
infinis collés les uns aux autres. P PSConducteur
lrId lrIdCette répartition de courants possède un plan de symétrie (ΠΠΠΠ +): aux points P et P S, existent les mêmes éléments de courants lrIdO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
P PS )(MBd Pr M S M )(SPMBd Sr SSMP u →r M Pu →rM est un point quelconque de l"espace et M
Sson symétrique par rapport au
plan (ΠΠΠΠ )(MsymM S 20 204)(;4)(
SSMPSPMPPMPuIdMBdPMuIdMBd
SS S ?=?=r lr r r lr r ((MBdSymPrO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Avec :
))(()(MBdSymMBd PSP S r rMPMPSS
uSymuMPPMSS r r Et en utilisant les propriétés du produit vectoriel, on montre que : :Par intégration, on déduit :
))(()(MBSymMB S r r P PS )(MB r M S M )(SMBr SSMP u r MP u →r ))((MBSym rO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Plan de
symétrie ΠΠΠΠ MSi M appartient au plan (ΠΠΠΠ
+), M et M Ssont confondus.Par conséquent :
MBsoitMBSymMBr
r r )(MB r )()()(++Π??Π?MBM r P PS lrIdl rId " C"est le contraire du champélectrostatique ! »
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils infinis collés les uns aux autres. P PSConducteur
lrId Cette répartition de courants possède un plan d"anti-symétrie (ΠΠΠΠ -): aux points P et PS, existent des éléments de courants de
sens opposés.On montre alors que, pour :
lrId- ))(()(MBSymMB S r r )(MsymM SO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Plan de
symétrie ΠΠΠΠ MSi M appartient au plan (ΠΠΠΠ
-), M et M Ssont confondus.Par conséquent :
MBsoitMBSymMBr
r r )(MB r )()()(--Π??Π?MBM r P PS lrIdl rId " C"est le contraire du champélectrostatique ! »
O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
III - Exemples classiques de champs magnétiques1 - Spire circulaire :xyz
O M(z) M(-z)RUne spire circulaire (C) de rayon R est parcourue par un courant constant d"intensité I.On souhaite calculer le champ magnétique en un point M situé sur l"axe (Oz) de la spire.
Étude des symétries : Tous les plans contenant l"axe (Oz) sont des plans d"anti-symétrie, par conséquent :
zuzBzBr r Le plan (Oxy) est un plan de symétrie pour la répartition de courants, par conséquent : )()(zBzB r r )(zB r )(zB- r ABO Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Animation Java
A BLignes de champ dans le
plan (Oyz) (1 bobine)Les lignes de champ sont des
lignes fermées.Les lignes de champ ne
divergent pas à partir de leurs sources (les courants) mais tourbillonnent autour de celles-ci.La règle de la main droite
donne l"orientation des lignes de champ.O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Animation Java
Lignes de champ dans le
plan (Oyz) (2 bobines)O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
Animation Java
Lignes de champ dans le
plan (Oyz) (4 bobines)O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
2 - Solénoïde fini et infini :Un solénoïde est un circuit constitué de spires jointives enroulées sur un
cylindre dont la section est ici supposée circulaire. On note L sa longueur, R le rayon de sa section circulaire et N le nombre total de spires. II z M LN spires
On calcule le champ en un point M quelconque de l"axe (Oz) (intérieur ou extérieur au solénoïde).O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
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O Granier, PC* J Decour (Champ magnétique)
IV - Énoncé du théorème d"Ampère
Le théorème d"Ampère est " l"équivalent » du théorème de Gauss. Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution decourants lorsque celle-ci possède des symétries " fortes ».1 - Fil infini et circulation du champ magnétique :La circulation du champ magnétique est définie par :
rdr )(MB r M contour rdMBCr r