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Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.texAnalyse Combinatoire 1)

Equipes

On dispose d'un groupe de cinq personnes.

a)Combien d'equipes de trois personnes peut-on former? b)Combien d'equipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c)Combien d'equipes avec un chef et deux adjoints peut-on former?2) Village Combien un village doit-il avoir d'habitants pour que l'on soit certain que deux personnes au moins aient les m^emes initiales? On denira avec precision ce qu'on appelle des initiales.3) Encyclopedie Les douze tomes d'une encyclopedie sont places sur une m^eme etagere. a)Combien y a-t-il de manieres dierentes de les classer sur cette etagere? b)Parmi ces classements, combien y en a-t-il, ou les tomes 1 et 2 se trouvent c^ote a c^ote dans cet ordre sur l'etagere?4) Des On jette trois desA,B,Cayant chacun 6 faces numerotees de 1 a 6. a)Denombrer les resultats ne comportant aucun as. b)Denombrer les resultats comportant au moins un as. c)Denombrer les resultats comportant exactement un as. d)Denombrer les resultats comportant exactement deux as.5) Poker Combien y a-t-il de mains de 5 cartes prises dans un jeux de 32 cartes contenant : a) Un Carre4 cartes de m^eme hauteur b) Une Couleur5 cartes de m^eme couleur c) Une Quinte5 cartes dont les hauteurs se suivent d) Une Quinte Flusha la fois quinte et couleur| }~1 / 2LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.texProbabilites

1) Poker

Au Poker, chaque joueur recoit une"main»de 5 cartes prises au hasard dans un jeu de 32 cartes. a)Quelle est la probabilite de recevoir un Carre? ("main»de 5 cartes dont 4 ont la m^eme hauteur)? b)Quelle est la probabilite de recevoir une Quinte Floche? ("main»de 5 cartes de la m^eme couleur et de hauteurs consecutives).2) De pipe On utilise un de"pipe»pour lequel la probabilite d'obtenir une face paire comme resultat d'un lancer, est les trois quarts de la probabilite d'obtenir une face impaire. Chaque face paire a la m^eme chance de sortir, et chaque face impaire aussi. a)Denir l'univers et la probabilite avec precision. b)Quelle est la probabilite de l'evenement"obtenir As ou Six»? c)On joue maintenant deux fois de suite. Quelle est la probabilite d'obtenir des nombres dont la somme fait 5?3) Sac de billes Un sac contient 10 billes. Il y a des billes rouges et des billes blanches. Le nombre des billes blanches estx, celui des billes rouges estyavec : 26x68. a)Calculer d'abord en fonction dexety, puis en fonction dexseulement, la probabiliteppour que, en tirant simultanement deux billes, elles soient toutes les deux de la m^eme couleur. (Application :x= 4) b)Quel doit ^etre le nombrexde billes blanches, pour que cette probabilite soit minimale, et quel est ce minimum? c)Verier que la formule donnantpen fonction dexest encore valable pour :x= 0 etx= 1.4) Deux des On jette deux des simultanement. Soient les evenements suivants : {A="la somme des points est un multiple de 3» {B="la somme des points est divisible par 4» a)Calculer les probabilites :P(A) ,P(B) ,P(A[B) etP(A\B). b)Les evenementsAetBsont-ils independants? c)Calculer :P(A=B),P(B=A).| }~2 / 2LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.texAnalyse Combinatoire (Solutions) 1)

Equipes

On dispose d'un groupe de cinq personnes.

a)Combien d'equipes de trois personnes peut-on former? b)Combien d'equipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint?

c)Combien d'equipes avec un chef et deux adjoints peut-on former?a)Dans ce cas, une"equipe»est un sous-ensemble de trois personnes prises dans un ensemble

de cinq personnes; c'est une"Combinaison de 3 parmi 5»

Dans ce cas il y a doncC

35= 10equipes distinctes possibles.

b)Maintenant, une"equipe»est un liste ordonnee de trois personnes prises dans un ensemble de cinq personnes; c'est un"Arrangement de 3 parmi 5»

Maintenant il y a doncA

35= 60equipes distinctes possibles.

c)Cette fois-ci, pour constituer une"equipe», if faut choisir un chef (il y a 5 cas possible), puis il faut prendre deux adjoints, c'est a dire est un sous-ensemble de deux personnes prises dans l'ensemble de quatre personnes qui restent; c'est a dire une"Combinaison de 2 parmi 4». Cette fois-ci il y a donc5C24= 56 = 30equipes distinctes possibles.

2) Village

Combien un village doit-il avoir d'habitants pour que l'on soit certain que deux personnes au moins aient les m^emes initiales?

On denira avec precision ce qu'on appelle des initiales.il est possible de denir les initiales de dierentes facons.

Nous allons decider de denir les initiales ainsi :"initiales»="2-liste de lettres prise dans un alphabet de 26 lettres»

Il y a donc26

2= 676"initiales»distinctes.

Donc si un village compte676 + 1 = 677habitantsil y aura obligatoirement au moins deux personnes ayant les m^emes initiales.| }~3 / 8LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.tex3) Encyclopedie Les douze tomes d'une encyclopedie sont places sur une m^eme etagere. a)Combien y a-t-il de manieres dierentes de les classer sur cette etagere? b)Parmi ces classements, combien y en a-t-il, ou les tomes 1 et 2 se trouvent c^ote a c^ote dans

cet ordre sur l'etagere?a)Un classement des douze tomes d'une encyclopedie sur une m^eme etagere est une"permu-

tation de 12 elements» Il y a donc12! = 479001600"classements»distincts. b)Il sut de"coller»enssemble les tomes 1 et 2 dans cet ordre, il ne rester plus alors qu'a classer onze tomes sur l'etagere; Il y a donc cette fois11! = 39916800cas possibles.

4) Des

On jette trois desA,B,Cayant chacun 6 faces numerotees de 1 a 6. a)Denombrer les resultats ne comportant aucun as. b)Denombrer les resultats comportant au moins un as. c)Denombrer les resultats comportant exactement un as.

d)Denombrer les resultats comportant exactement deux as.Le resultat d'un jet de 3 des est une 3-liste d'elements pris parmi les 6 faces.

Il y a 6

3= 216 resultats distincts possibles.

a)Pour les resultats ne comportant aucun as, il sut de choisir parmi 5 faces.

Il y a donc5

3= 125resultats distincts

b)Pour les resultats comportant au moins un as, on considere tous les cas, sauf ceux vu ena)

Il y a donc6

353= 91resultats distincts

c)Pour les resultats comportant exactement un as, on choisit un as de 3 facons, puis les deux derniers parmi les 5 autres faces.

Il y a donc352= 75resultats distincts

d)Pour les resultats comportant exactement deux as, on choisit deux as de 3 facons, puis le dernier parmi les 5 autres faces.

Il y a donc35 = 15resultats distincts

Verication, pour 0, 1 , 2 ou 3 as : 125 + 75 + 15 + 1 = 216| }~4 / 8LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.tex5) Poker Combien y a-t-il de mains de 5 cartes prises dans un jeux de 32 cartes contenant : a) Un Carre4 cartes de m^eme hauteur b) Une Couleur5 cartes de m^eme couleur c) Une Quinte5 cartes dont les hauteurs se suivent

d) Une Quinte Flusha la fois quinte et couleura)Un"carre»se construit en choisissant une hauteur pour le carre, 8 cas possibles (7 8 9 X V

D R A) puis ensuite une carte parmi les 324 = 28 carte restantes.

Il y a donc828 = 224"carres»possibles

b)Une"couleur»est constituee par un ensemble 5 cartes prises parmi les 8 d'une m^eme couleur (combinaison de 5 parmi 8), et ceci dans les 4 couleurs disponibles.

Il y a doncC

584 = 654 = 224"couleur»possibles

c)Une"quinte»peut ^etre une des quatre congurations suivantes (789XV) ou (89XVD) ou (9XVDR) ou (XVDRA) mais pour chaque carte de la conguration il y a 4 choix possibles donc 4 5 choix d la conguration.

Il y a donc4

54 = 10244 = 4096"quintes»possibles

d)Une"quinte ush»peut ^etre une des quatre congurations suivantes (789XV) ou (89XVD) ou (9XVDR) ou (XVDRA) et il y a 4 couleurs possibles.

Il y a donc44 = 16"quintes

ush»possibles| }~5 / 8LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.texProbabilites (Solutions)

1) Poker

Au Poker, chaque joueur recoit une"main»de 5 cartes prises au hasard dans un jeu de 32 cartes. a)Quelle est la probabilite de recevoir un Carre? ("main»de 5 cartes dont 4 ont la m^eme hauteur)? b)Quelle est la probabilite de recevoir une Quinte Floche? ("main»de 5 cartes de la m^eme

couleur et de hauteurs consecutives).Une main au Poker est un ensemble de 5 cartes prises parmi 32, c'est a dire une"combinaison de

5 parmi 32».

Il y a doncC

532= 201376mains distinctes

a)On a vu precedemment qu'il y a 828 = 224 carres distincts.

La probabilite de recevoir un Carre est donc :224

C

532=1899

'0;11%b)On a vu precedemment qu'il y a 44 = 16 quintes ush distinctes. La probabilite de recevoir une Quinte Floche est donc :16 C

532=112586

'0;008%2) De pipe On utilise un de"pipe»pour lequel la probabilite d'obtenir une face paire comme resultat d'un lancer, est les trois quarts de la probabilite d'obtenir une face impaire. Chaque face paire a la m^eme chance de sortir, et chaque face impaire aussi. a)Denir l'univers et la probabilite avec precision. b)Quelle est la probabilite de l'evenement"obtenir As ou Six»? c)On joue maintenant deux fois de suite.

Quelle est la probabilite d'obtenir des nombres dont la somme fait 5?a)On a un de a six faces, donc six resultats possibles :

=fF1;F2;F3;F4;F5;F6g

La probabilite estP:

P:P( )![ 0 ; 1 ] fFig 7!P(fFig) =pi

Avec :p1=p3=p5;p2=p4=p6etp2=34

p1ce qui donne :p

1=p3=p5=421etp

2=p4=p6=321

}~6 / 8LATEX2" Combinatoire et ProbabilitesF-IRIS2-04.texb)L'evenement"obtenir As ou Six»=fF1;F6g=AP(A) =421 +321
=13 c)Pour cette question il est necessaire de redenir l'univers et la probabilite. =fF1;F2;F3;F4;F5;F6g2

La probabilite estP:

P: P( )![ 0 ; 1 ] f(Fi;Fj)g 7!P f(Fi;Fj)g =pi;j L'evenement"obtenir 5»=f(F1;F4);(F2;F3);(F3;F2);(F4;F1)g=BP(B) =421 321
+321
421
+421
321
+321
421
=16147 '10;88%3) Sac de billes Un sac contient 10 billes. Il y a des billes rouges et des billes blanches. Le nombre des billes blanches estx, celui des billes rouges estyavec : 26x68. a)Calculer d'abord en fonction dexety, puis en fonction dexseulement, la probabiliteppour que, en tirant simultanement deux billes, elles soient toutes les deux de la m^eme couleur. (Application :x= 4) b)Quel doit ^etre le nombrexde billes blanches, pour que cette probabilite soit minimale, et quel est ce minimum?

c)Verier que la formule donnantpen fonction dexest encore valable pour :x= 0 etx= 1.a)Si on tire deux billes dans un sac de dix billes, il s'agit d'une"combinaison de 2 parmi 10»,

il y a doncC210= 45 cas possibles. Pour tirer deux billes de m^eme couleur, ont peut tirer deux blanches"combinaison de 2 parmi x» ou deux rouges"combinaison de 2 parmi y», il y a doncC2x+C2ytirages possibles. La probabilite pour que les deux billes, soient de la m^eme couleur est :C

2x+C2yC

210=x2x+y2y90

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