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?Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014?

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

1.La durée de vie, exprimée en années, d"un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une

entreprise A est une variable aléatoireXqui suit une loi exponentielle de paramètreλ, oùλest un

réel strictement positif.

D"après le cours :P(X?[a;b])=?

b a

λe-λtt.=?

-e-λt?b a=e-λa-e-λboùa>0 etb>0.

Donc pourt>0,P(X?t)=e0-e-λt=1-e-λt.

-2=λ ??λ=-ln(0,85) 2 Dans la suite de l"exercice on prendra 0,081 pour valeur deλ.

2. a.Pourt>0 :P(X?t)=1-P(X

DoncP(X?3)=e-3×0,081≈0,78

b.Pour tous réels positifsteth:P(X?t)=e-λtetP(X?t+h)=e-λ(t+h) P

X?t(X?t+h)=P[(X?t)∩(X?t+h)]

P(X?t)=P(X?t+h)P(X?t)

e-λ(t+h)

c.Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans.La probabilité pour qu"il fonctionne encore 2 ans estPX?3(X?3+2).

D"après le cours :PX?3(X?3+2)=P(X?2)=1-P(X<2)=1-0,15=0,85.

d.D"après le cours, pour une variablealéatoire suivant une loi exponentielle de paramètreλ, l"espé-

rance deXestE(X)=1

DoncE(X)=1

0,081≈12,35.

Ce qui veut dire que la durée moyenne de vie d"un moteur est de 12,35 années.

3.L"entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%.

Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés auhasard.

Pour une proportionpet un échantillon de taillen, l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil

de 95% est :???p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n??? sous les trois conditions :n?30,np?5 etn(1-p)?5. L"échantillon del"enquête estdetaillen=800 et l"entreprise annonce que lepourcentage demoteurs défectueux est égal à 1% doncp=0,01. Regardons si les trois conditions sont vérifiées : n=800?30,np=800×0,01=8?5 etn(1-p)=800×0,99=792?5.

L"intervalle est :I=?

0,01-1,96?

0,01(1-0,01)?800; 0,01+1,96?

0,01(1-0,01)?800?

≈[0,003;0,017].

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800,ce qui fait une proportion de 15

800=0,01875; or 0,01875??Idonc le résultat de ce test remet en question l"annonce de l"entre-

prise A.

EXERCICE24 points

Commun à tous lescandidats

1. Proposition1: toute suite positive croissante tend vers+∞.

C"est faux car tout suite croissante majorée est convergente donc a une limite finie (c"est le théo-

rème de la croissance majorée). Doncon peut trouver une suite positive croissante qui converge,par

exemple la suite (un) définie pour tout entier natureln, parun=2-1 n+1.

Propositionfausse.

2.gest la fonction définie sur?

-1

2;+∞?

parg(x)=2xln(2x+1).

Proposition2: sur?

-1

2;+∞?

, l"équationg(x)=2xa une unique solution :e-12. g(x)=2xln(2x+1) doncg(0)=0; l"équationg(x)=2xadmet donc pour solutionx=0 donc :propo- sition fausse.

Proposition 3: le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonctiongau

point d"abscisse 1

2est : 1+ln4.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d"abscisse1

2estg??12?

g ?(x)=2ln(2x+1)+2x×2

2x+1doncg??12?

=2ln2+1; or 2ln2=ln22=ln4 donc le coefficient directeur de la tangente est égal à 1+ln4.

Propositionvraie.

3.L"espace est muni d"un repère orthonormé?

O,-→ı,-→?,-→k?

PetRsont les plans d"équations respectives : 2x+3y-z-11=0 etx+y+5z-11=0. Proposition4: les plansPetRse coupent perpendiculairement. Le planPd"équation 2x+3y-z-11=0 a pour vecteur normalnP(2;3;-1). Le planRd"équationx+y+5z-11=0 a pour vecteur normalnR(1;1;5). Le produit scalaire de ces deux vecteurs est 2×1+3×1+(-1)×5=0 donc les deux vecteurs sont orthogonaux et donc les deux plansPetRse coupent perpendiculairement.

Propositionvraie.

EXERCICE35 points

Candidatsn"ayantpas suivi la spécialité

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?

O,-→u,-→v?

Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezndéfini par :z0=1 etzn+1=? 3 4+? 3 4i? z n

On définit la suite

(rn)parrn=|zn|pour tout entier natureln.

Pondichéry28 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.?????34+?

3

4i?????

?3 4? 2 3 4? 2 9

16+316=?

12 16=? 3 4=? 3 2 3 4+? 3 4i=? 3 2(((( 3 4?3 2+? 3 4?3

2i))))

3 2?

34×2?3+?

3

4×2?3i?

3 2? 3

2+12i?

Or cos

6=? 3

2et sinπ6=12.

Donc le nombre complexe

3 4+? 3

4i a pour module?

3

2et pour argumentπ6donc sa forme exponen-

tielle est? 3

2eıπ

6.

2. a.rn+1=|zn+1|=??????

3 4+? 3 4i? z n????? =?????34+? 3

4i?????

×|zn|=?

3 2rn Donc la suite (rn) est géométrique de raisonq=? 3

2et de premier termer0=|z0|=1.

b.La suite (rn) est géométrique donc, pour toutn,rn=r0×qn, doncrn=? 3 2? n c.OAn=|zn|=rn=? 3 2? n (rn) est une suite géométrique de raison? 3

2; or-1 3

2<1 donc la suite (rn) converge vers 0.

La longueurOAntend donc vers 0 quandntend vers+∞.

3. a.On fait tourner l"algorithme donné dans le texte en prenant pourPla valeur 0,5 :

nRPR>P

Initialisations010,5Vrai

Traitement10,8660,5Vrai

20,750,5Vrai

30,64950,5Vrai

40,56250,5Vrai

50,4870,5Faux

SortieAfficher 5

La valeur affichée par l"algorithme pourP=0,5 est 5.

b.Cet algorithme s"arrête dès queR?Pet affiche alorsn, c"est-à-dire qu"il affiche la plus petite

valeur denpour laquelleRdoncrn=OAnest inférieur ou égal àP.

On peut donc dire queOA32>0,01 et queOA33?0,01.

Vérification à la calculatrice :r32≈0,01002 etr33≈0,00868.

4. a.On considère le triangleOAnAn+1.

OA n=rndonc (OAn)2=r2n OA n+1=rn+1=? 3

2rndonc (OAn+1)2=34r2n

A nAn+1=|zn+1-zn|=?????? 3 4+? 3 4i? z n-zn????? 34+?
3 4i-1? z n????? -14+? 3

4i?????

×|zn|

Pondichéry38 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-1 4? 2 3 4? 2

×rn=?

1

16+316rn=?

4

16rn=12rndonc (AnAn+1)2=14r2n

(AnAn+1)2+(OAn+1)2=1

4r2n+34r2n=r2n=(OAn)2

D"après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleOAnAn+1est rectangle enAn+1. b.On admet quezn=rneınπ 6.

Le pointAn, d"affixezn, appartient à l"axe des ordonnées si et seulement si son argument estπ

2 ou3π

2modulo 2π, c"est-à-direπ2moduloπ, donc il peut s"écrireπ2+kπoùk?Z.

Le nombrezna pour argumentnπ

6;nπ6=π2+kπ??n=3+6k.

Maisnest un entier naturel donckdoit être strictement positif donc appartenir àN. Donc sins"écrit 3+6kaveck?N, alors le pointAnappartient à l"axe des ordonnées. c.Le pointA6a pour affixez6qui a pour argument6π

6=π;ce point est donc sur l"axe des abscisses.

Comme le triangleOA5A6est rectangle enA6, on trace le cercle de diamètre[OA5]; le pointA6 est à l"intersection de ce cercle et de l"axe des abscisses.

Le pointA7a pour affixez7qui a pour argument7π

6; donc les pointsA1,OetA7sont alignés. Le

pointA7se trouve donc à l"intersection du cercle de diamètre[OA6]et de la droite (OA1).

Etc. (Voir figure en annexe)

Remarque : les pointsA3etA9appartiennent à l"axe des ordonnées, ce qui correspond bienà la réponse trouvée à la question4. b.

EXERCICE35 points

Candidatsayantsuivi la spécialité

1. a.D"après le texte, les acheteurs de la marque X le moisn+1 sont formés de 50% des acheteurs de

X le moisndonc 0,5xn, de 50% des acheteurs de Y le moisndonc 0,5yn, et de 10% des acheteurs de Z le moisndonc 0,1zn; on a doncxn+1=0,5xn+0,5yn+0,1zn. On admet que :yn+1=0,4xn+0,3yn+0,2znet quezn+1=0,1xn+0,2yn+0,7zn. b.D"après le texte, on peut dire que pour toutn,xn+yn+zn=1 donczn=1-xn-yn. x y

2.On définit la suite(Un)parUn=?xn

y n? pour tout entier natureln. On admet que, pour tout entier natureln,Un+1=A×Un+BoùA=?0,4 0,40,2 0,1? etB=?0,10,2? Au début de l"étude statistique (mois de janvier 2014 :n=0), on estime queU0=?0,50,3? a.En faisant tourner l"algorithme donné dans le texte, pourn=1 on entre une fois dans la boucle TANT QUE; on va donc appliquer une fois l"instruction "Uprend la valeurA×U+B». La valeur deUen entrée de boucle estU0=?0,50,3? , donc la valeur affichée en sortie est : U

1=A×U0+B=?0,4 0,40,2 0,1?

×?0,50,3?

+?0,10,2? =?0,420,33?

Pondichéry48 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Pourn=3, l"algorithme calcule successivementU1puis U

2=A×U1+B=?0,4 0,40,2 0,1?

×?0,420,33?

+?0,10,2? =?0,4

0,317?

puis U

3=A×U2+B=?0,4 0,40,2 0,1?

×?0,4

0,317?

+?0,10,2? =?0,38680,3117?

L"affichage obtenu pourn=3 est?0,38680,3117?

b.Le mois de janvier correspond àn=0, donc le mois d"avril correspond àn=3.

La matriceU3est la matrice?x3

y 3? =?0,38680,3117? Donc la probabilité d"utiliser la marque X au mois d"avril estx3=0,3868. Dans la suite de l"exercice, on cherche à déterminer une expression deUnen fonction den.

On noteIla matrice?1 00 1?

etNla matriceI-A.

3.On désigne parCune matrice colonne à deux lignes.

a.Iest la matrice unité d"ordre 2 doncI×C=C. b.On admet queNest une matrice inversible et queN-1=((((45

232023

10

233023))))

N×C=B??C=N-1×B??C=((((45

232023

10

233023))))

×?0,10,2?

??C=((((45

232023

10

233023))))

×((((1

10 2

10))))

C=((((45

23×110+2023×210

10

23×110+3023×210))))

??C=((((45

230+40230

10

230+60230))))

??C=((((85 230
70

230))))

??C=((((17 46
7

23))))

4.On noteVnla matrice telle queVn=Un-Cpour tout entier natureln.

a.Vn+1=Un+1-C=A×Un+B-C; or la matriceCest définie parC=A×C+B. b.On admet queUn=An×(U0-C)+C. Remarque : ce résultat s"obtient en partant de l"égalitéVn+1=A×Vn; on pourrait dé- montrer par récurrence que, pour toutn,Vn=An×V0ce qui équivaut à U n-C=An×(U0-C) ou encoreUn=An×(U0-C)+C. Le mois de janvier correspond àn=0 donc le mois de mai correspond àn=4. Les probabilités d"utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivementx4,y4etz4. On cherche doncU4qui donnerax4ety4; puis on calculeraz4=1-x4-y4. À la calculatrice, on trouve :U4=A4×(U0-C)+C=?0,3794

0,30853?

De plus, 1-0,3794-0,30853=0,31207.

Donc les probabilités d"utiliser les marques X, Y et Z au moisde mai sont respectivementx4=

0,3794,y4=0,30853 etz4=0,31207.

Pondichéry58 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE47 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

fest une fonction définie et dérivable surRetf?est la fonction dérivée de la fonctionf.

Dans le plan muni d"un repère orthogonal, on nommeC1la courbe représentative de la fonctionfetC2la

courbe représentative de la fonctionf?; A(0 ; 2)?C1et B(0 ; 1)?C2.

1.La fonctionfest décroissante puis croissante, donc la fonction dérivéedoit être négative puis posi-

tive, ce qui élimine la situation 3.

Si la fonction dérivée est représentée par une droite comme dans la situation 2, c"est que la fonction

fest une fonction du second degré; donc sa représentation graphique possède un axe de symétrie

vertical. Ce n"est pas le cas donc on peut éliminer la situation 2.

La bonne situation est donc la situation 1.

2.La droiteΔtangente à la courbeC1en A d"abscisse 0, a pour équationy=f?(0)(x-0)+f(0).

f(0) est l"ordonnée de A doncf(0)=2;f?(0) est l"ordonnée du point B doncf?(0)=1. L"équation réduite de la tangente est donc :y=x+2.

3.On sait que pour tout réelx,f(x)=e-x+ax+boùaetbsont deux nombres réels.

a.f(0)=2??e0+2×0+b=2??1+b=2??b=1 b.b=1 doncf(x)=e-x+ax+1 donc f ?(x)=-e-x+a; orf?(0)=1?? -e0+a=1?? -1+a=1??a=2

Doncf(x)=e-x+2x+1

4.On a vu quef?(x)=-e-x+aet commea=2,f?(x)=-e-x+2.

f ?(x)>0?? -e-x+2>0??2>e-x??ln2>-x?? -ln25.On sait que limx→+∞e-x=0 et que limx→+∞2x+1=+∞donc, par somme, limx→+∞f(x)=+∞.

PartieB

Soitgla fonction définie surRparg(x)=f(x)-(x+2).

1. a.g?(x)=f?(x)-1=-e-x+2-1=-e-x+1.

g ?(x)>0?? -e-x+1>0??1>e-x??ln1>-x??x>0 Doncgest strictement décroissante surR-, et strictement croissante surR+; la fonctiongadmet donc un minimum enx=0. Ce minimum vautg(0)=f(0)-(0+2)=2-2=0. b.D"aprèsla question précédente, pour tout réelx:g(x)?0 doncf(x)-(x+2)?0??f(x)?x+2 ce qui veut dire que la courbeC1est au-dessus de la droiteΔsurR.

2.On a vu que la courbeC1était au dessus de la droiteΔsurRdonc c"est vrai sur[-2;2].

[-2 ; 2].

L"aire de la partie grisée est égale à la différence de l"airesous la courbeC1entrex= -2 etx=2, et

l"aire sous la droite entrex=-2 etx=2.

Autrement dit cette aire est égale à?

2 -2f(x)dx-? 2 -2(x+2)dx=? 2 -2[f(x)-(x+2)]dx=? 2 -2g(x)dx g(x)=e-x+2x+1-x-2=e-x+x-1;

Pondichéry68 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

doncga pour primitive la fonctionGtelle queG(x)=-e-x+x22-x. 2 -2g(x)dx=G(2)-G(-2)=? -e-x+x2 2-x? 2 -2=? -e-2+222-2? -e-(-2)+(-2)22-(-2)? =-e-2+2-2+e2-2-2=e2-e-2-4 ≈3,25 unités d"aire.

Pondichéry78 avril 2014

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE EXERCICE 3 NON SPÉCIALITÉ

A 0 A1 A2A3 A4 A5 O ?A 6 A 7 A 8A9quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1