[PDF] Algorithmique I - École normale supérieure de Lyon PDF poly09.pdf

Types de Données et Algorithmes, le livre de Froidevaux, Gaudel et Soria [4], of algorithms, contient les notes de cours et exercices (certains corrigés) d'un

EXERCICES – ALGORITHME SECONDE Exercice NB : cet algorithme peut être écrit d'une manière simple, mais relativement peu Corrigés des Exercices

[PDF] Exercices avec Solutions

Exercices Corrigés d'Algorithmique – 1ére Année MI 5 EXERCICE 1 Ecrire un algorithme qui demande un nombre à l'utilisateur, puis calcule et affiche le carré

[PDF] Les tableaux 1 Exercice 1 - LIPN

Ecrire les algorithmes permettant : 1 Le calcul du nombre d'occurences d'un élément donné dans un tableau Nb_occurences (T: Tableau d'entier, N: entier)

[PDF] SUJET + CORRIGE

(d) (2 points) Écrire un algorithme nbInvOuOpp(T) o`u T est un tableau de nombres, qui Dans cet exercice, nous allons adapter des algorithmes de tri vus

[PDF] Algorithmique et programmation : les bases (Algo) Corrigé

d'un algorithmique, les variables, les types, les constantes, les expressions et les instructions Table des Exercice 8 : Cube d'un réel (avec une variable)

[PDF] Exercices et problemes dalgorithmique - Numilog

Si la plupart des ouvrages de cours d'algorithmique contiennent des énoncés d' exercices, peu sont corrigés C'est donc l'une des originalités de ce livre que de

[PDF] Algorithmique - Correction du TD3

18 déc 2012 · Exercice 5 Construire un algorithme permettant d'évaluer vos chances de gagner dans l'ordre ou dans le désordre au tiercé, quarté ou quinté

[PDF] Exercices et problèmes dalgorithmique - Adrien Poupa

D'ALGORITHMIQUE ▻ Rappels de cours ▻ Exercices et problèmes avec corrigés détaillés ▻ Solutions en pseudo code et en langage C Nicolas Flasque

[PDF] Algorithmes - Cours, examens et exercices gratuits et corrigés

Exercice 1 6 Plus difficile, mais c'est un classique absolu, qu'il faut absolument maîtriser : écrire un algorithme permettant d'échanger les valeurs de deux

[PDF] Algorithmique I - École normale supérieure de Lyon

Types de Données et Algorithmes, le livre de Froidevaux, Gaudel et Soria [4], of algorithms, contient les notes de cours et exercices (certains corrigés) d'un

pdf Brahim BESSAA - ?????? ????? ??????? ??

Exercices Corrigés d’Algorithmique – 1ére Année MI 11 EXERCICE 6 Ecrire un algorithme permettant de calculer la valeur de l’expression E telle que E=(1+2)x(1+2+3)x(1+2+3+4)x x(1+2+3+ +(N-2)+(N-1)+N) et (N?2) Algorithme SommeE ; Var IJNES :entier ; Début Lire(N) ; E ?1 ; S ?1; Pour I ?2 à N Faire S ?S+I;

AlgorithmiqueI-CoursetTravauxDiri g´es

L3,Ecol eNormaleSup´er ieuredeLyon

Cours

AnneBe noit

TravauxDirig´es(200 8-2009)

BenjaminDepardon,Chris topheMouilleron,Cl´ement Resvoy

Septembre2009

Tabledesmati` eres

1In troduction:calculdex

n 9 1.1 Enonc´eduprobl`eme.. ..... ....................... ... .9

1.2Algorit hmena¨ıf............ ............... ... .. ... ..9

1.3M´et hodebinaire............. ................. ... ... 9

1.4M´et hodedesfacteurs......... ......... ................10

1.5Arbre deKnuth.... ...... .............. ... ... ... ... .10

1.6R´es ultatssurlacomplexit´e...... ......... ...... .........11

1.7Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 12

1.8R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................14

2D iviserpourr´egner15

2.1Algorit hmedeStrassen........ ...... ..................15

2.2Prod uitdedeuxpolynˆomes... ...... ............ .........17

2.3Maste rtheorem....... .................. ... .. ... ... .18

2.4R´es olutiondesr´ecurrences...... ........ ................19

2.4.1R´esol utiondesr´ecurrenceshomog`ene s........ ............19

2.4.2R´esolu tiondesr´ecurrencesavecsecon dmembre.. .............19

2.5Mult iplicationetinversiondematrices....... ...... ...........20

2.6Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..21

2.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................23

3P rogrammationdynamique25

3.1Pi`e cesdeMonnaies......... ...... .................. .. 25

3.2Leprob l`e medusac`ados............. ...... ..... ...... .26

3.2.1Englouton ...... ........... ... ... ... ... ... .. .26

3.2.2Parprogr ammationd ynamique................ ........26

3.3Quel quesexemplesdeprogrammationd ynamique................ ..27

3.3.1Chaˆın esdematrices............ ...... ............27

3.3.2Pluslon guesous-suite. ........... .................28

3.3.3Locationd eskis.......... ..... ............ ... ..30

3.4Exe rcices.................... ... ... ... ... ... ... .. 32

3.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................34

4A lgorithmesgloutons35

4.1Exem pledugymnase.......... ...... .............. ... .35

4.2Route `asuivrepourl eglouton. ................. ........ ..36

4.3Colori aged'ungraphe...... ........... ............ ... .37

4.3.1Algorithm eglouton1.............. ............ ... 38

4.3.2Algorithm eglouton2.............. ............ .. .38

4.3.3Graphed 'intervalles.... ..........................39

4.3.4Algorithm edeBrelaz............ ...... ...........39

4.4Th´ eoriedesmatro¨ıdes..... ........ ....................41

4.4.1Matro¨ ıdes...................... ... ... ... ... ..41

4.4.2Algorith meglouton............... ........... ... ..42

4.5Ordon nancement........................... ... .. ... .42

4.6Exer cices..................... ... ... ... .. ... ... ..44

4.7R´ef ´erencesbibliographiques............. .................45

5Tri47

5.1Trif usion.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .47

5.2Trip artas:Heapsort ...... ..... ... ............... .. ..47

5.2.1D´efini tions......................... ... ... ... .47

5.2.2Tripart as........ ..... ...... ... ... ... ... .. ..48

5.2.3Inser tiond'unnouvel´el´ement.. ............ ...........48

5.2.4Suppre ssiond'un´el´ementdutas........ ........... ....49

5.2.5Comple xit´edutripartas............... ...... ......49

5.3Trir apide.... ............... .. ... ... ... ... ... ... .49

5.3.1Coˆut. ............... .. ... ... ... ... ... ... .. .50

5.3.2M´edian eentempslin´eaire.... ...... .............. ...50

5.4Compl exit´edutri.................. ...... ........ ... .51

5.4.1Lesgrands th´eor` emes....... ......................51

5.4.2D´emons trationdesth´eor`emes.............. ........ ...52

5.4.3Peut-on atteindrelaborne?.. ....................... .54

5.5Exer cices..................... ... ... ... ... ... .. ..55

5.6R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................57

6G raphes59

6.1D´efi nitions....................... ... ... ... ... .. ... 59

6.2Arbre s............. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 59

6.2.1Caract´e risation............................. ... .59

6.2.2Parcours d'arbresbinaires... ..................... ...60

6.2.3Arbresb inairesderecherc he.................. ...... ..63

6.3Stru cturesdedonn´eespourlesgraphes... ...... ...............65

6.4Acce ssibilit´e............................ ... ... .. ... 69

6.4.1Rappel ssurlesrelationsbinai res..... ......... .........69

6.4.2Chemin sdanslesgraphes........ ......... ......... .70

6.4.3Fermet uretransitive.............. ................70

6.5Plus courtschemins .............. .................... 73

6.5.1D´efin itions........................ ... ... ... ..73

6.5.2Pr´es entationdespluscourtschemins....... ......... .....74

6.5.3Avecdes poidspositi fs...... ............ ...........74

6.5.4Chemin salg´ebriquesdanslesse mi-anneaux.................75

6.5.5Algorithm edeDijkstra......... ...... .............76

6.6Parcou rsenlargeur......... ..... ............... ... .. .78

6.7Parcou rsenprofondeur...... ..... .....................80

6.7.1Premi` ereversion................. ...............80

6.7.2Analysefi neduparcoursenprof ondeur... ...... ..........81

6.8Trit opologique.. .................... ... ... ... ... ... 82

6.9Forte connexit´e... .......................... ... .. ... 83

6.10Exer cices..................... ... ... ... ... .. ... ..83

6.11R´ef ´erencesbibliographiques............. .................88

7Tab lesdehachage89

7.1Rech ercheentable............... ...... ............ .. 89

7.2Table sdehachage....... ...... ............ ... .. ... ..89

7.3Colli sionss´epar´ees.......... .........................90

7.4Adre ssageouvert.......... .............. ... ... ... .. .91

7.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................92

8A nalyseamortie93

8.1Compt eur................. ... ... ... ... ... .. ... ... 93

8.1.1M´etho dedesacomptes............ ......... ........93

8.1.2M´etho dedupotentiel........... ...... ............94

8.2Mallo cprimaire....... .................... ... ... .. ..94

8.2.1M´etho deglobale................. ............ .. .94

8.2.2M´etho dedesacomptes............ ......... ........94

8.2.3M´etho dedupotentiel........... ...... ............94

8.3Inse rtionETsuppression....... ...... ...................95

8.4Gest iondespartitions.... ........ .....................95

8.4.1Repr´e sentationenlisteschaˆın´ees............. ..... .....95

8.4.2Repr´ esentationenarbres....................... ....95

8.5R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................96

9NP-Compl´etude97

9.1Probl `emesdeP.....................................97

9.1.1Pens´e edujour(PJ).......... ...... ......... .....97

9.1.2D´efini tion....................... ... ... ... ... .97

9.1.3Exempl es..................... ... ... ... ... .. .98

9.1.4Solution d'unprobl`eme..... ............ ...........99

9.2Probl `emesdeNP...................................99

9.2.1D´efini tion....................... ... ... .. ... ..99

9.2.2Probl`e mesNP-complets.............. ..............99

9.2.3Exempl esdeprobl`emesdansNP.......................100

9.2.4Probl`e mesded´ecisionvsoptimisation.. ...... ............100

9.2.5Exempl edeprobl`emesn'´etantp asforc´e mentdansNP...........100

9.2.6Probl` emespolynomiaux.............. ..............101

9.3M´e thodeder´eduction....... ...... ....................102

9.43-SAT ........... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..102

9.5Cliq ue................ .. ... ... ... ... ... ... .. ... .104

9.6Couve rtureparlessommets.......... ...... ........ ......105

9.7Cycl ehamiltonien.... .......................... ... ..106

9.8Colorat iondegraphes......... ..... ............... ... .106

9.8.1COLOR.. ............ .. ... ... ... ... ... ... .. .107

9.8.23-COLOR ............... ... .. ... ... ... ... ... .109

9.8.33-COLOR- PLAN..................... ... ... ... .. 110

9.9Exer cices..................... .. ... ... ... ... ... ..112

9.10R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................114

10A lgorithmesd'approximation115

10.1D´efi nition..................... ... ... ... ... .. ... ..115

10.2Vert excover.......... .............. ... ... ... ... ... 115

10.2.1Version classique......... ....................... 115

10.2.2Version pond´er´ee........ ........................116

10.3Voyage urdecommerce:TSP... ..... .................... .116

10.3.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .116

10.3.2Inappro ximabilit´edeTSP...........................117

10.3.32-approx imationdanslecaso`ucv´erifiel'in´egalit ´etriangul aire... ...117

10.4BinP acking:BP ................. ... ...... ... ... ... .118

10.4.1D´efini tion....................... ... ... ... ... .118

10.4.2NextFit ......... ........ ... ... ... ... ... .. ... 119

10.4.3DecFir stFit(DFF )............. ......... ........119

10.52-Part ition................... ... ... ... ... ... .. ... 120

10.5.1NP-compl ´etudeausensfaibleetausensfort......... ... ....120

10.5.2Approxi mationgloutonnes.................. .........120

10.5.3Une(1+ ?)-approximation....................... ... .121

10.5.4FPTASpou r2-Partition... ........ .................123

10.6Exe rcices.................... ... ... ... ... ... .. ... 125

10.7R´ef ´erencesbibliographiques.............. ................127

Pr´eface

Lestradi tionschangentetlecoursd'algon 'estplustoujourslem ercred i`alam ˆemeheure, lesensei gnantsrajeunissent,etlepolyse d´eboguegrˆaceauxgentils´etudiants,TD-menet enseignants. Doncvoicila nouvelleversi ondupol yremis`aneuf,toujourspou rsatisfairevotreenvi ede savoir.Biensˆurilr estesansnuld outedenombreus eserre ursgliss´eesdans cespages,me rcide mefaire partdevostrouvai llesparcou rrier´ electr onique`aAnne.Benoit@ens-lyon.fr.

Lyon,Juille t2007

AnneBenoit

Pr´efaced'YvesRobert

Cepolyc opi´erassemblelescoursettr avauxdirig´es(aveccorrig´ es)dumod uleAlgorithmique del'ENS Lyon.Al'origine pr´evupour lap remi`ereann´eeduMagist` ered'Informatique,l emodule s'int`egred´esormaisdanslatrois i`emeann´eedelaLicenced'In formatique .Etdir equepersonne nes'es trenducompteduc hangement! Celafait`ape inedixansq uej'en seignececours.Ad ´efautdech angerle contenu(pou r fairequoid'autr e?)oud'uti liserautrechosequeletableau et lacraie(idem?),jechangeles irr´esistiblestraitsd'humourquifonttoutlecharm edecess´eancesd uMercredi(l'horairene changepasnonplu s).Etj 'usetou teunebatteriedeTD- menandw omen,lesquelsont apport´e leurcontribut ionaufildesans,construisantouam´elioran tde ss´ean cesdetrav auxdirig´e s. Jelesr emercietou ssinc`erement,parordred'ap parition:Od ileMillet-Botta,TanguyRisset, AlainDarte,B runoDurand,Fr´e d´ericVivien,Jean -ChristopheDubacq,O livierBodini,Daniel

Hirschko

ff ,Mat thieuExbrayat,NatachaPort ier,EmmanuelHyon,EricThier ry,MichelMorv an etYvesC aniou. Sansaucunep ressionoupresque, YvesCaniouetEricThierry ontr ´eussi`asemotiver pourrassemb lerlesTD.L'ann´eepr´ec´edent e,j'avaisr assembl´e lescours.Enfin,quand ondit rassembler,c' estsurtoutlesgen tils´etudiants-scr ibesquiras semblent,entapotantd eleursdoigts agileslaquint essenc edenotreenseignementin´egalable. Cepolyc opi´eestleconcurrentleplu ss´erieu xduCorm endanslemonde,oudumoinsdans lesept i`emearrondissementdeLyon!Maisr enon¸cant`adefabuleuxdroitsd'auteur,l'´e quipe p´edagogique(c'estnous)ad´ec id´edemettrecetouvr age`alalibred isp ositiondesnombreux

´etudiantsassoi

ff ´esdesavoi r(c'es tvous).Enjoy!Etmer cidesignalererreu rsetomi ssionspar courrier´electronique` aYves.Robert@ens-lyon.fr.

Lyon,Mai2005

YvesRobert

Biblio

Voiciquelques pointeursbibliographiques(v oiraussilesr´ef´erencesdon n´ees`alafindechaque chapitre): IntroductiontoAlgorithmsdeT.H.C ormen,C .E. LeisersonetR.L.Rives t[2].L'ou - vrageder´e f´eren ceparexcellence,`aacheteretconserve rtoute savied'informaticien.Ilse murmurequ'unedeuxi`em e´editionestparue,a vecunauteurdeplus.Etunetradu ction fran¸caise. ComputersandIntractability, aGuide totheTheoryofNP-CompletenessdeM.R . GareyetD.S.Joh nson[5]. Essent ielle mentpoursonintrod uction`al aNP-compl´etudeau sensfort,etqu elquesjolies r´educ tions.Onrevienttoujours`as oncataloguedeprobl`em es

NP-complets.

Theartof Compute rPr ogramming,le stroistomes deKnuth[6],e tbientˆotquatr e,pour leursexercices incroyables

Sinon,j'aimebien:

-TypesdeDonn´eeset Algorit hmes,le livred eFroidevaux,Gaude letSori a[4],pourl'analyse finedesprob l`emesdet ri -leNP-com pendium,maintenusurleWeb(http://www.nada.kth.se/ viggo/problemlist/ compendium.html),pourl esr´esult atsd'appro ximation.Lelivrequicorrespond,Com- plexityandApproxim ation,de Ausiell oetal.[1]estvraimenttr` escompl et,ave cune bonneintroduc tionauxsch´emasd'approximation. -AlgorithmsandComplexity,le livred eWilf[12],dontlap remi`e re´edition,´e puis´ee, est wilf/.Une joliein troduction `alaNP -compl´ etude,avecunepreuveconciseduth´eor`emede Cook,pleind' algorithmes, del'h umour,dansunfichier.pdf`at ´el´echarge rabsolum ent -Comparedtowhat?:anintro ductio ntotheanalysiso fal gorith ms,le livred eRawlins[8], quicontien tunemined'exercicesor iginaux -IntroductiontoGraphTheory,de West[ 11],monlivrepr´ ef´er´ed egraphes

Enfin,deuxlivre splusdi

ffi ciles,`ar´eserver auxplus aventureux:celuideKozen[7],Thedesign andanalys isofalgorithms,c ontientlesnotesdecourset exercice s(certainscorr ig´es )d'uncours denive auavanc´edonn´e`a Cornell,etceluideVaz irani[10],Approximationalgorithms,don tle titrer´esumebi enlecontenu. 8

Chapitre1

Introduction:calculdex

n Cechap itresebasesurunpetitex emple facilepourd ´efinirl'al gorithm iqueetlanotionde complexit´ed'unprobl`eme. 1.1

Enonc´eduprobl`eme

On´etu dieleprobl`emeducalcul dex

n ,´e tantdonn´esxetn(n´etan tunentierpositi f). Soulignonsquexn'estpasn´ecess airemen tunnombre,ilpeuts'agird'unematriceoud'un polynˆome`aplusieursind ´eter min´ees:silamultiplicationau nsens,ladivisionn'enapas!

Onposey

0 =x,et onutili sel a"r`egledujeu"suivante: sij'aid ´ej`acalcul´ey 1 ,y 2 ,...,y i-1 jepeux calculery i commeproduit dedeuxr´esultatspr´ec ´edent sarbitraires: y i =y j ·y kquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

[PDF] [PDF] Algorithmique I - École normale supérieure de Lyon