Résoudre l'équation : ( 3x – 2 )( 2x + 3 ) = 0 On reconnaît ici une équation « produit nul » Or, si un produit est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul ( et
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2 Invente une équation qui admette -1 et 3 comme solution Résoudre une équation `a l'aide d'une factorisation Résoudre les
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c) Calculer G pour x = 2,5, pour x = 0 et pour x = -1 Exercice 8 : Reconnaître une différence de deux carrés puis factoriser A = (x + 1)² – 36
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Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul • Donc on a ici : 5 − 3=0 ou 2 − 8 =0 5 =0+3
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Equation 2 : 4x = 3x + 2 (On a retranché 5 à chaque membre de l'équation précédente) Equation 3 : x Exemple : (2x + 3) (4x – 2) = 0 est une équation produit
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d) (2 x – 7)2 = 0 ④Dans chaque cas, invente une équation-produit dont les solutions sont les deux nombres proposés :
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= 10002 + 2 × 1000 × 1 + 12 = 1 002 001 à savoir par cœur Page 2 II – Factoriser : rappels Rappel : une expression porte le nom du
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o 9 ² – 32 + 25 ressemble à a² – 2ab + b² mais 2ab = 2 3 5 = 30 au lieu de 32 Cela ne convient pas et on ne le factorisera pas o 9 ² – 30 + 25 = (3
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15 juil 2009 · Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul Exemple : Résolution de l'équation (3x + 2)(4x − 3) = 0 dans l'ensemble des
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Chapitre 9 - Équations du second degré
L'objectif de ce chapitre est de résoudre certaines équations à une inconnue du second degré.
1- Équations " produit nul »
a) Vocabulaire Soit deux expressions A(x) et B(x) de la variable x. Toute équation de la forme A(x) ´ B(x) = 0 est appelée équation " produit nul ». b) Propriété Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit qu'un de ses facteurs soit nul.Autrement dit
Soit a et b deux nombres.
* Si a = 0 ou b = 0, alors a ´ b = 0 . * Réciproquement, si a ´ b = 0 alors a = 0 ou b = 0 .Démonstration
* La première partie de la propriété est évidente. * Si a ´ b = 0 , on envisage deux cas. Premier cas : supposons que a est nul. La propriété est alors démontrée.Second cas : supposons que a est non nul. On peut alors multiplier chacun des membres de l'égalité par
l'inverse de a : a×b a=0 a. En simplifiant, on obtient : b = 0. CQFD ! c) Principe et méthode générale On considère une équation du second degré. * Si ce n'est pas le cas, on transpose pour que le second membre de cette équation soit nul.* On factorise alors, si possible, le premier membre : on obtient ainsi une équation " produit nul ».
* On utilise la précédente propriété : on doit alors résoudre deux équations du premier degré.
d) ApplicationRésoudre l'équation : ( 3x - 2 )( 2x + 3 ) = 0 . On reconnaît ici une équation " produit nul ».
Or, si un produit est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul (et réciproquement). Donc : 3x - 2 = 0 ou 2x + 3 = 0Soit : x=2
3 ou x=-3
2 Par conséquent, l'équation admet deux solutions : -32 et 2
3.2- Égalité de deux carrés
a) PropriétéSoit un nombre a.
L'équation x² = a² admet deux solutions : a et - a .Démonstration
x² = a² donc x² - a² = 0 .On reconnaît une identité remarquable et on peut donc factoriser le premier membre : ( x - a )( x + a ) =0
On reconnaît alors une équation " produit nul ». Or, si un produit est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul (et réciproquement). Donc : x - a = 0 ou x + a = 0 Soit : x = a ou x = - a CQFD ! b) Application