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Sommes et s´eries

1 Synth`ese sommes finies

D´efinitions

?b k=auk=ua+ua+1+

···+ubpour les petites sommes.?n+1

k=0uk=?n k=0uk+un+1et?0 k=0uk=u0pour les r´ecurrences.

1.1 Op´erations

Chasles(d´ecoupage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant! Lin´earit´e(d´ecoupage vertical) Somme de sommes. Factorisationdes constantes par rapport `a l"indice de sommation. R´eindexationChange les deux bornes et le contenu. Mais ce n"est pas le meilleur moyen pour rectifier les bornes.

Pourx?= 1,calculer (1-x)?n

k=0kxket en d´eduire?n k=0kxk. D´erivationPour les sommes finie!x→x0se d´erive enx→0.

Calculer?n

k=1k·xk-1 Simplification diagonaleIl faut avoir exactement?n k=0uk+1-uk= u n+1-u0 In´egalit´esMontrer que pour toutk≥2 :1k en d´eduire un majorant de?n k=11k 2

1.2 Sommes usuelles

b k=0k=n(n+1)2 :?n k=0k2=n(n+1)(2n+1)6 ?n k=0k3=n2(n+1)24 k=aqk=?b-a+ 1 siq= 1 q a1-qb-a+11-qsiq?= 1?n k=0? n k?akbn-k= (a+b)n1.3 M´ethodes

Constantessi elles sont en facteur!?n

k=02k+ 1

Borne sup´erieure?n+2

k=0k2

Borne inf´erieure

?n k=3k2

Puissance manquante

?n k=0? n k?

Puissance en puissancek?n

k=0q2k

Puissance en produit par une constante

?n k=0qk+1

Produit en puissance

?n k=02k·3k

Produit en somme

?n k=0(k+ 1)(k+ 2) BinˆomeO`u doit on retrouver l"indice de sommation? O`u retrouve-t-on la puissance? Calculer?n k=0? n-1 k+1?

Ecriture factorielle de

?n (n+ 1)! = (n+ 1)·n! uniquement sin≥0

Transformation du coefficient : sym´etrie?n

k?=?n n-k?, Pascal?n k?+?n k+1?=?n+1 k+1?,par factoriellek·?n k?=n·?n-1 k-1? Formule changeanteJusqu"`a un indice (apparaˆıt souvent en proba- bilit´es)?3n k=0|n-k|.

Suivant la parit´e?nk=0kpairk2:?2n

k=0k(-1)k

1.4 Sommes doubles

BasiquesDistinguer variables et constantes.?n

i=0? i j=0i·j

Permutation de sommes?n

i=1? n j=isomme pour tous les couples d"entiers (i,j) tels que : j=1? j i=1

Calculer?n

i=1? n j=iij

Synthse sommes et sriesPage 1/ 2

2 Cours s´eries

2.1 D´efinition

S´erienot´ee?

k≥1uk: s´erie de terme g´en´eral (uk)k≥1et de premier indice 1.

S´erie convergentesignification?

Somme de la s´erienot´ee?+∞

k=1ukest? Aboslue convergenteSi elle est absolument convergente alors elle est convergente.

Contre exemple?

Int´erˆet : crit`eres de convergence.

2.2 Usuelles

G´eom´etriques et d´eriv´eesConvergent si|q|<1 et divergent sinon.?++∞ k=0qk=11-q:?++∞ k=1kqk-1=1(1-q)2:?++∞ k=2k(k-1)qk-2=2(1-q)3 k=0kqk=q(1-q)2:?++∞ k=0k2qk=q(q+1)(1-q)3

ExerciceD´emontrer les deux premi`eres.

Exponentiellesconvergent?+∞

k=0xkk!=ex

Classique

n=0? n k?

2kn!ressemble `a une somme binomiale mais ...

Riemann?

k≥11k

2.3 Op´erations

M´efianceChercher l"erreur :?+∞

k=02k= 20+?+∞ k=12k= 1 + 2?+∞ k=12k-1= 1 + 2?+∞ k=02k

Donc (1-2)?+∞

k=02k= 1 et?+∞ k=02k=-1 somme de termes positifs! Conclusion? ..................................................... Prudence : on repart de la somme partielle.2.4 Crit`eres de convergence pour les s´eries `a termes positifs. RappelUne suite croissante et ............ est convergente, une suite croissante et non .........tend vers +∞. LemmeUne s´erie `a termes positifs est croissante. (Signification? Le d´emontrer). Que peut-on en d´eduire suivant qu"elle est major´ee ou non. si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveLes sommes partielles v´erifient les mˆemes in´egalit´es. Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration. Th´eor`emeSivn≥0 etun≥0 et queun=o(vn) alors si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveQue signifieun=o(vn)? et il existe un rangn0`a partir duquel On est alors ramen´e au th´eor`eme pr´ec´edent.

Th´eor`emeSiun≂vnet quevn≥0 alors?

k≥0ukconverge si et seulement si? k≥0vkconverge. (par ´equivalence de termes positifs) PreuveQue signifieun≂vn? et il existe un rangn0`a partir duquel 12 d"o`u12 vnet la convergence ou la divergence par application du premier th´eor`eme. M´ethodeUn ´equivalent est une s´erie de r´ef´erence. Sinon, on fait apparaˆıtre un terme qui tend vers 0 fois une s´erie de r´ef´erence. ExerciceMontrer que la s´erie de terme g´en´eral? (-1)kln(k)·e-k? k≥1converge.Synthse sommes et sriesPage 2/ 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8