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On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des abscisses passant par le point correspondant à π 6 0 5π 6 π
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5 FONCTION LOGARITHME 108 Leçon 32 Inéquations trigonométriques Exemple 1 : Résoudre l'inéquation 2 2sin cos 4 x 5 x + < tel que π2 0
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0;π pour les fonctions tangente et cotangente, à période π Ces intervalles sont choisis de la sorte à ce que les solutions sont bien visibles sur le premier tour de
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4 π en fonction de rd 8 π c) Déduisez-en une équation du second degré vérifiée par cos 8 π
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Porte sur un cercle trigonométrique les angles solutions de la 1re équation et sur un autre ceux de la 2e équation 2 Quel angle a même cosinus que l'angle de 2π
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L'intervalle est limité par des multiples de π 21 Résolution d'une équation trigonométrique simple du premier ou du deuxième degré Résoudre une équation
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cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels a + 2kπ et −a + 2kπ où k
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Il faut penser à utiliser le cercle trigonométrique ou les courbes des fonctions sinus et cosinus Solutions des équation : sin (α)=sin(β) si et seulement si : {α=β
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Exercice 3 Résoudre des équations et inéquations trigonométriques en s'aidant du cercle trigonométrique (noté ) 1 a
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1
1ère S
Chapitre 30
Equations et inéquations trigonométriques
avec des cosinus et des sinusI. Règles fondamentales
1°) Egalité de deux cosinus
a et b sont deux réels. A B A' B' O b cos cos a b si et seulement si2a b k k
ou2 'a b k 'k
2°) Egalité de deux sinus
a et b sont deux réels. A B A' B' O b sin sin a b si et seulement si2a b k k
ou2 'a b k 'k
-b -b 2 II. Exemples de résolutions d'équations trigonométriques1°) Exemple 1
Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).
Astuce de départ :
1cos2 3
Réécriture de l'équation
(1) s'écrit cos cos3x (1) cos cos3x (" on équilibre l'équation »)23x k k
ou (on " enlève » les cos avec la règle 1)2 '3x k 'k
12 , 2 ' , '3 3S k k k k
2°) Exemple 2
Résoudre dans l'équation
ne pas développer2sin3 2x
(2).Astuce de départ :
2sin2 4
Réécriture de l'équation
(2) s'écrit sin sin3 4x (2) sin sin3 4x23 4x k k
ou2 '3 4x k 'k
324 3x k k
ou2 '4 3x k 'k
212x k k
ou52 '12x k 'k
252 , 2 ' , '12 12S k k k k
3°) Exemple 3
Résoudre dans l'équation cos3 sinx x (3).Astuce de départ :
sin cos2x xRéécriture de l'équation
(3) s'écrit cos3 cos2x x (3) cos3 cos2x x3 22x x k k
ou3 22x x k' 'k
4 22x k k
ou2 2 '2x k 'k
224 k x k ou 2 '2 2 k x 'k 4
8 2x k k
ou '4x k 'k3, ' , '8 2 4S k k k k
A B A' B' O1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)
0k : 8
1k : 5
8 2 82k : 9
8 83k : 3 13
8 2 8 ' 0k : 4 ' 1k : 3 4 4 0M8 313M815M8 29M8
0M'4 13M'4 5 III. Equations trigonométriques particulières