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Statistique inf´erentielle I - Estimation

Nathalie Cheze

1

July 9, 2007

1 Introduction

1.1 Notion d"´echantillon

Soit un ensemble de tailleN, appel´e population. On veut ´etudier la population relative- ment `a un caract`ere statistiqueX.

S"il est possible d"interroger tous les ´el´ements de la population, les propri´et´es deXsont

parfaitement connues. Une telle situation est rare et l"´etude deXsera r´ealis´ee, en g´en´eral,

`a partir de donn´ees partielles deX.

La notion d"´echantillon va formaliser le choix de ces donn´ees partielles. Un ´echantillon de

la population est dit de taillens"il est constitu´e denunit´es distinctes ou non, tir´ees parmi

lesN´el´ements de la population. On lui associe alors l"´echantillon des r´ealisations deXque

l"on note (x1;x2;:::;xn):C"est sur cet ´echantillon que seront effectu´es les calculs.

Il n"est pas `a propos dans ce chapitre d"´etudier comment a ´et´e ´etabli le plan de sondage

fournissant l"´echantillon. Ceci fait l"objet de la th´eorie des sondages. Le tirage le plus usit´e

est le tirage al´eatoire avec remise. Il consiste `a tirer au hasard l"´echantillon, unit´e par unit´e.

Lorsqu"un ´el´ement est tir´e, il n"est pas ´elimin´e et participe au tirage suivant. Dans la suite,

on suppose que l"´echantillon a ´et´e obtenu de cette mani`ere.

1.2 Caract´eristiques d"un ´echantillon

Supposons que l"on ait tir´e un ´echantillon de taillen. On peut calculer pour la variable quantitativeX, certaines caract´eristiques, `a partir de l"observation (x1;x2;:::;xn):On note: - la moyenne de l"´echantillon des donn´ees : ¯xn=1 n n X i=1x i - la variance "biais´ee" de l"´echantillon des donn´ees:s2n=1 n n X i=1(xi¡¯xn)2 - la variance "sans biais" de l"´echantillon des donn´ees: ˆs2n=s2n£n n¡1.

La valeur de ces param`etres d´epend´evidemment de l"´echantillon´etudi´e. A chaque´echantillon

de donn´ees, correspond une valeur de ¯xn;s2net ˆs2n. L"´etude de variabilit´e des ces valeurs,

1

Universit´e Paris 10, MODALX, 200 av. de la R´epublique, 92000 Nanterre, Nathalie.Cheze@u-paris10.fr

1 suivant l"´echantillon choisi, est un probl`eme important que nous abordons maintenant.

1.3 Fluctuations d"´echantillonnage

On consid`ere une population de tailleN, pour laquelle on veut ´etudier un caract`ereX. On

peut pr´elever plusieurs´echantillons diff´erents de taillenproduisant ainsi des caract´eristiques

d"´echantillonnage (par exemple, la moyenne ou la variance), diff´erentes selon l"´echantillon et

qui ne correspondent en g´en´eral pas aux valeurs des param`etres de la population.Toute la mod´elisation statistique repose sur l"al´eatoire dans le choix de l"´echantillon. Pour

cela, nous allons consid´erer un cadre probabiliste g´en´eral, dit mod`ele d"´echantillonnage.

1.3.1 Mod`ele d"´echantillonnage

D´efinition 1.

On appellestatistiquetoute variable al´eatoire (en abr´eg´e v.a.).

D´efinition 2.

Unn-´echantillon est une suite (X1;X2;:::;Xn) denv.a. ind´ependantes et de mˆeme loi, `a valeurs dans l"espaceE(en g´en´eralE=ZZ;E=IR;ouE=IRd).

Remarque: on obtient unn-´echantillon en r´ep´etantnfois la mˆeme exp´erience dans les

mˆemes conditions et de mani`ere ind´ependante les unes des autres. Cela correspond au tirage avec remise.

Exemples de statistiques.

²Soit unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn),¯Xn=1 n n X i=1X iest une statistique.

²Si on poseE(Xi) =µ, alors¯Xn¡µn"est pas une statistique (car elle n"est pas calculable

`a partir des observations).

1.3.2 Exemples fondamentaux

Consid´erons unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn) et notons

¯Xn=1

n n X i=1X i, la statistique qui, `a chaque ´echantillon (x1;x2;:::;xn) associe sa moyenne

¯xn,

-S2n=1 n n X i=1(Xi¡¯Xn)2=1 n n X i=1X2i¡¯X2n, la statistique qui, `a chaque ´echantillon (x1;x2;:::;xn) associe sa variance "biais´ee"s2n,

ˆS2n=n

n¡1S2n, la statistique qui, `a chaque ´echantillon (x1;x2;:::;xn) associe sa variance "sans biais" ˆs2n. 2 R´esumons sous forme de tableau les symboles utilis´es pour d´esigner les param`etres de la population et les caract´eristiques de l"´echantillon. param`etres de la population caract´eristiques de l"´echantillon taille N n moyenne

¯xn

variance 2 s 2n

²Propri´et´es de la moyenne empirique.

En posantE(Xi) =¹etV ar(Xi) =¾2,8i= 1;:::;n, on montre que la moyenne¯Xnv´erifie: a)E¡¯Xn¢=¹ b)V ar¡¯Xn¢=¾2 n

Preuve

a)E¡¯Xn¢=Eà 1 n n X i=1X i! 1 n n X i=1E(Xi) =¹, d"apr`es les propri´et´es de l"esp´erance math´ematique. b)V ar¡¯Xn¢=1 n 2n X i=1V ar(Xi) =¾2 n , d"apr`es les propri´et´es de la variance et le fait que les v.a. (Xi) sont ind´ependantes entre elles.

L"interpr´etation statistique de ces propri´et´es, qui permet d"illustrer la notion de fluctuations

d"´echantillonnage, est la suivante: si on fait la moyenne sur tous les ´echantillons possibles de taille n dans la population de

tailleN, obtenus par un ´echantillonnage avec remise, des ¯xnassoci´ees `a chaque ´echantillon,

on retrouve la vraie valeur¹. Illustrons cette propri´et´e sur un exemple trivial. Consid´erons une population compos´ee deN= 3 enfants (E1;E2;E3) ˆag´es respectivement de 6, 2 et 10 ans. On s"int´eresse `a la variableX=ˆage.

On a donc¹= 6 et¾2= 10:67.

Supposons maintenant que l"on ne peut pas avoir l"informationX= ˆage, sur toute la population des trois enfants, mais seulement sur un ´echantillon de deux enfants.

Si on fait un ´echantillonnage avec remise, on obtient neuf ´echantillons qui sont les suivants:

(E1;E1), (E1;E2), (E1;E3), (E2;E1), (E2;E2), (E2;E3), (E3;E1), (E3;E2) et (E3;E3). On peut calculer ¯xnpour chacun des ´echantillons et on obtient respectivement: 6, 4, 8, 4,

2, 6, 8, 6 et 10.

Evidemment, on obtient des r´esultats diff´erents pour chaque ´echantillon, illustrant les fluctuations d"´echantillonnage, des diff´erences d"autant plus importantes que la taille de l"´echantillon est petite.

Pour comprendre la propri´et´e a), il suffit de faire le moyenne de ces neuf valeurs. On obtient

6 qui est effectivement la valeur de¹, on retrouve ainsi le r´esultat ´enonc´e.

Pour v´erifier la propri´et´e b), il suffit de calculer la variance de ces neuf valeurs et le r´esultat

obtenu est ´egal `a¾2=n. 3 Ce chapitre est volontairement d´etaill´e car il est indispensable de bien comprendre la

diff´erence entre population et ´echantillons, param`etres et caract´eristiques pour pouvoir

aborder la statistique inf´erentielle d´evelopp´ee dans le quatri`eme chapitre.

2 Lois de probabilit´es classiques en statistique

L"objectif de ce chapitre est de d´ecrire les lois des variables al´eatoires r´eelles introduites

dans la suite de cet article. Les variables al´eatoiresX, pr´esent´ees ci-dessous, sont toutes

`a valeurs r´eelles, et ont une loi de densit´efne pr´esentant pas de primitive simple. Pour

obtenir les quantit´es de la formeP(a·X·b), il existe des tables statistiques qui donnent un certain nombre de valeurs de cette fonction. Pour chacun des exemples, nous donnons la table statistique associ´ee et quelques exemples de calculs de probabilit´e.

2.1 Loi normale unidimensionnelle

La loi normale est une des lois fondamentales en statistique.

D´efinition.

La variable al´eatoireXsuit une loi normale centr´ee r´eduite , not´eeN(0;1), si sa densit´ef

est donn´ee par: f(x) =1 p

2¼e¡x2

2 ;8x2IR:

D´efinition.

La variable al´eatoireXsuit une loi normale d"esp´erancemet de variance¾2, not´ee

N(m;¾2), si sa densit´efest donn´ee par:

f(x) =1 p

2¼e¡(x¡m)2

2¾2;8x2IR:

Remarques

²La repr´esentation graphique de la loi normaleN(m;¾2) donne la courbe de Gauss (en cloche), sym´etrique par rapport `am. ²Soit la variable al´eatoireXqui suit une loi normaleN(m;¾2), alors la v.a.U=X¡m oe suit une loi normaleN(0;1), pour laquelle il existe une table statistique qui permet d"obtenir

facilement les quantiles. Grˆace `a ces propri´et´es de stabilit´e par transformation affine, on

peut obtenir la probabilit´eP(X·a) en ´ecrivantP(X·a) =P(U·a¡m oe ) et lire la probabilit´e associ´ee au quantile a¡m oe dans la table de loi normale centr´ee r´eduite. Nous donnerons ci-apr`es quelques exemples de lecture de la table statistique de la loiN(0;1). ²SoientXetYdeux v.a. ind´ependantes suivant respectivement les loisN(mX;¾2X) et N(mY;¾2Y). La v.a.X+Ysuit une loi normaleN(mX+mY;¾2X+¾2Y). On peut g´en´eraliser ce r´esultat `a unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn) de loi normaleN(m;¾2) et obtient ainsi que 4 la v.a.

¯Xnsuit une loi normaleN(m;¾2=n).

Exemples de calculs de quantiles

Consid´erons une variable al´eatoireUde loiN(0;1). On cherche `a calculer, soit la probabilit´e

P(U·u),uquantile donn´e, soit le quantileu, la probabilit´e ´etant donn´ee. La table donne

les valeurs deF(u) =P(U·u),u¸0. ²Que vautP(U·1;91)? On d´ecompose 1;91 en 1;9 et 0;01, on se place `a l"intersection de la ligneu= 1;9 et la colonneu= 0;01 et on lit la probabilit´e associ´ee 0;9719. ²Que vautP(U· ¡1;91)? La table ne donne pas les quantiles n´egatifs. Mais, du fait que la densit´e est sym´etrique, on peut ´ecrireP(U· ¡1;91) =P(U¸1;91). La table donne les probabilit´es associ´ees `a l"´ev`enementU·uet nonU¸u. De plus, on a P(U¸1;91) = 1¡P(U <1;91) et ainsi,P(U· ¡1;91) = 1¡0;9719 = 0;0281. ²Que vautP(0;5< U·1;01)? On voit facilement que l"´ev`enement (0;5< U·1;01) peut se d´ecomposer en ( U·1;01)=(U·0;5) et ainsi,P(0;5< U·1;01) =P(U·

1;01)¡P(U·0;5) = 0;8438¡0;6915 = 0;1523.

²Que vaut u tel queP(U·u) = 0;8315? Il faut chercher la valeur 0;8315 `a l"int´erieur de

la table et lire le quantile associ´e en additionnant les valeurs deuassoci´ees `a la ligne et `a

la colonne de 0;8315, c"est-`a-direu= 0;9 + 0;06 = 0;96. ²Que vaut u tel queP(U·u) = 0;2358? Cette valeur ne se trouve pas `a l"int´erieur

de la table. La probabilit´e 0;2358 ´etant inf´erieure `a 0;5, cela signifie que le quantile est

n´ecessairement n´egatif. On peut ´ecrireP(U·u) = 0;2358 = 1¡P(U· ¡u) et¡utel

queP(U· ¡u) = 1¡0;2358 = 0;7642, c"est-`a-dire¡u= 0;72 etu=¡0;72. Consid´erons maintenant une variable al´eatoireXde loiN(20;36). ²Que vautP(X·22;4)? D"apr`es les remarques pr´ec´edentes, on peut ´ecrireP(X·

22;4) =P(U·22;4¡20

6 ) o`uUest une variable de loiN(0;1). Ainsi,P(X·22;4) =

P(U·0;4) = 0;6554.

2.2 Loi du Khi-deux

D´efinition.

On consid`ere unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn) de loi normaleN(0;1).

On dit que la variable al´eatoireZ=nX

i=1X2isuit une loi du khi-deux `andegr´es de libert´e, not´eeÂ2(n). Son esp´erance est donn´ee parE(Z) =n, sa variance parV ar(Z) = 2net sa densit´efpar: f(x) =1 2 n=2Γ(n=2)e¡x=2xn=2¡1;8x2IR+ o`u Γ(p) =Z +1

0e¡xxp¡1dx:

Remarques

5 ²Il existe une table statistique pour obtenir facilement les quantiles de cette loi . Nous donnerons ci-apr`es quelques exemples de lecture de la table statistique de la loiÂ2(n). ²SoientXetYdeux v.a. ind´ependantes suivant respectivement les loisÂ2(n) etÂ2(m). La v.a.X+Ysuit une loiÂ2(n+m). La preuve est imm´ediate si l"on revient `a la d´efinition. Consid`erons maintenant unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn) de loi normaleN(m;¾2).

²La v.a.1

2n X i=1(Xi¡m)2suit une loiÂ2(n).

Le r´esultat suivant est important.

Th´eor`eme:La variable al´eatoiren¡1

2ˆS2n=1

2n X i=1(Xi¡¯Xn)2suit une loi duÂ2(n¡1).

Exemples de calculs de quantiles

Consid´erons une variable al´eatoireXde loiÂ2(10). On cherche `a calculer, soit la probabilit´e

P(X·Â2),Â2quantile positif donn´e, soit le quantileÂ2, la probabilit´e ´etant donn´ee. La

table donne les valeurs deP=P(X > Â2). ²Que vautÂ2tel queP(X > Â2) = 0;10? On se place `a l"intersection de la ligne degr´e de libert´eº= 10 etP= 0;10 et on obtientÂ2= 15;987. ²Que vautÂ2tel queP(X·Â2) = 0;10? La table donne la probabilit´eP(X > Â2) et

nonP(X·Â2), il suffit donc d"´ecrireP(X·Â2) = 1¡P(X > Â2) et trouverÂ2tel que

P(X > Â2) = 0;9, c"est-`a-dire queÂ2= 4;865. ²Que vautP(X >2;558)? Il faut trouverÂ2= 2;558 `a l"int´erieur du tableau sur la ligne

º= 10 et on obtientP(X >2;558) = 0;99:

2.3 Loi de Student

D´efinition: SoientXetYdeux variables al´eatoires ind´ependantes suivant respectivement On dit que la variable al´eatoireTd´efinie parT=X p Y=n suit une loi de Student `andegr´es

de libert´e, not´eeSt(n). Son esp´erance est donn´ee parE(T) = 0, sa variance n"est d´efinie

que pourn >2, parV ar(T) =n n¡2et sa densit´efpar: f(x) =1 p n B(1=2;n=2)Ã 1 +x2 n

¡n+1

2 ;8x2IR o`uB(p;q) =Z +1

0xp¡1(1¡x)q¡1dx:

Remarques

²Il existe une table statistique pour obtenir facilement les quantiles de cette loi sym´etrique.

Nous donnerons ci-apr`es quelques exemples de lecture de la table statistique de la loiSt(n). 6 ²La v.a.Tconverge en loi vers une variable al´eatoire de loiN(0;1) lorsquentend vers l"infini. ²On consid`ere unn-´echantillon (X1;X2;:::;Xn) de loi normaleN(m;¾2).

Par d´efinition, la variable al´eatoire

p n S

Exemples de calculs de quantiles

Consid´erons une variable al´eatoireXde loiSt(10). On cherche `a calculer, soit la probabilit´e

P(X·t),tquantile positif donn´e, soit le quantilet, la probabilit´e ´etant donn´ee. La table

donne les valeurs deP=P(jXj ¸t). ²Que vautttel queP(¡t < X·t) = 0;10? On se place `a l"intersection de la ligne degr´equotesdbs_dbs13.pdfusesText_19