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Conservatoire National des Arts et M´etiers

chaire de Calcul Scientifique

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique

CSC012 et CSC013

Cours de Licence de premi`ere et seconde ann´ees

Fran¸cois Dubois

Professeur responsable

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique?

Objectif

Donner aux auditeurs des notions de base du maniement des progiciels de calcul scientifique (Matlab, Scilab, Octave). Approximation num´erique des probl`emes les plus fondamentaux : r´esolution d"´equations, droite des moindres carr´es, interpolation, d´erivation num´erique,

´equations diff´erentielles ordinaires.

P´edagogie

P´edagogie active offerte aux auditeurs avec des "cours-travaux pratiques". Expos´es didactiques, d´emonstrations de l"enseignant etmises en pratique par les auditeurs. IACS-1 (CSC012) (premi`ere ann´ee), module de 60 heures, 6 ECTS, IACS-2 (CSC013) (seconde ann´ee), module de 60 heures, 6 ECTS.

Un ordinateur "calcule toujours faux"?

Exemple

x= 0.1, z= 1 +x z= 1.1 x= 0.01, z= 1 +x z= 1.01 x= 0.00001, z= 1 +x z= 1.00001 x= 10-10, z= 1 +x z= 1.0000000001 x= 10-20, z= 1 +x z= 1 !!! "Quel est le plus grand nombre qui, ajout´e a un, donne un ?" x= 10-14, z= 1 +x z= 1.00000000000001 x= 10-16, z= 1 +x z= 1 . Le calcul num´erique induit toujours une erreur d"arrondi de l"ordre de 10-15en valeur relative Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

Exemple : calcul de la racine carr´ee de 2.

Remarque fondamentale : un nouvel outil doit toujours ˆetretest´e pour un probl`eme dont on connaˆıt la solution.

On cherchextel quex2= 2 etx >0 .

Changement de l"´ecriture de l"´equation :x=2 xc"est `a diref(x) = 0 avecf(x)≡x-2 x,pour toutx >0. Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

On part d"une solution "pas si mauvaise" :x0= 1

On remplace la fonctionfpar son approximation affine au voisinage dex0: f(x)≈g0(x)≡f(x0) +f?(x0)(x-x0) On d´efinitx1comme la solution de l"´equationg0(x1) = 0

Sif?(x0)?= 0,le calcul dex1est tr`es simple :

x

1=x0-1

f?(x0)f(x0) Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

Condition initiale :x0= 1

R´esultat obtenu apr`es la premi`ere it´eration de l"algorithme : x

1= 1.33333333333333

On recommence avecx1comme nouvelle solution approch´ee On remplace la fonctionfpar l"approximation affine au voisinage dex1cette fois : f(x)≈g1(x)≡f(x1) +f?(x1)(x-x1) On d´efinitx2comme la solution de l"´equationg1(x2) = 0

Sif?(x1)?= 0,on ax2=x1-1

f?(x1)f(x1). Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton?

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Algorithme de Newton??

On trouve :x0= 1

x

1= 1.33333333333333 (1 chiffre correct)

It´erations suivantes :x2= 1.41176470588235 (3 chiffres corrects) x

3= 1.41421143847487 (6 chiffres corrects)

x

4= 1.41421356237150 (12 chiffres corrects)

x

5= 1.41421356237309

x

6= 1.41421356237309

On note que⎷

2≈1.41421356237310

A chaque it´eration de l"algorithme, le nombre de chiffres exacts double !! Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Exemple d"´evolution dynamique

Syst`eme de deux ´equations diff´erentielles coupl´ees dx dt+y= 0,dy dt-x= 0, t >0.

Condition initiale :x(t= 0) = 1, y(t= 0) = 0.

Solution exacte :x(t) = cost, y(t) = sint: cercle !

Test d"un premier sch´ema "d"ordre deux"

puis d"un second sch´ema "d"ordre quatre" Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Le sch´ema "d"ordre quatre" est tr`es pr´ecis mˆeme si l"on utilise tr`es peu de points On l"utilise pour ´etudier le comportement d"un syst`eme qui n"a pas de "solution analytique" : l"oscillateur de Van der Pol dx dt=y+x-x3,dy dt=-x, t >0. On fait varier la condition initialex(t= 0), y(t= 0). Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.

Introduction aux syst`emes dynamiques??

Au fur et `a mesure que le temps croˆıt,

toutes les trajectoires se superposent sur un "cycle limite". Malgr´e ses d´efauts, la mod´elisation num´erique et informatique est un merveilleurx outil pour la simulation et la pr´ediction de ph´enom`enes complexes ! Attention de ne pas lui faire dire n"importe quoi ! Informatique Appliqu´ee au Calcul Scientifique, juin 2007.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1